Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 15N2​ = 50

Sebuah motor 0,75 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 15 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 50 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T1 pada poros motor.

P = 0,75 kWn1 = 960 rpmN1 = 15N2 = 50η = 96%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 15B = 16C = 24D = 36

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (15 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 3000 rpm menggerakkan roda gigi B (16 gigi). Roda gigi C (24 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (36 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 3000 rpmA = 15B = 16C = 24D = 36
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
d = ?T = 100 N·mL = 2 m

Poros baja pejal sepanjang 2 m menahan torsi 100 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 3°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 100 N·mL = 2 mG = 80 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 1800 rpm tanpa tegangan geser melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 1800 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −20σy​ = −20τxy​ = −20MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = −20 MPaσy = −20 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
40°D = 400 mm, t = 8 mm, p = 2 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 400 mm dan tebal dinding 8 mm berisi gas bertekanan gauge 2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 40° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τn| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 400 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 40°
|τn| = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12300 mm200 mmØ20Ø30δ = 0,5 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
P = ?Ø20100 GPaØ100/50300 mm

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 250 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 70 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar Pmax.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σallow = 70 MPa
Pmax = kN
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 md = 25 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 4 kN/mc = 20 N·s/mm = 8 kg

Massa 8 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 4 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 20 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 8 kgk = 4 kN/mc = 20 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 25k2​ = 40k3​ = 40m = 20 kg

Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 40 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 40 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk1 = 25 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 40 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T1 = 7,46 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/100,5 = 7,46 N·m

Jawaban

T1 = 7,46 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 1875 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 3000·15/16 = 2813 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 2813·24/36 = 1875 rpm

Jawaban

nout = 1875 rpm

rasio total = 1,6 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: d = 26,41 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 100000·2000/(80000·0,05236) = 47746 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)1/4 = 26,41 mm

Jawaban

d = 26,41 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 37,81 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·530516/(π·50)) = 37,81 mm

Jawaban

d = 37,81 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 20 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((−20 − −20)/2)² + −20²) = 20 MPa

Jawaban

τmax = 20 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τn| = 12,31 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 2·200/8 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τn| = (50 − 25)·sin 40°·cos 40° = 12,31 MPa

Jawaban

|τn| = 12,31 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 65,75 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/7,604 × 10⁻⁶ = 65754 N = 65,75 kN

Jawaban

P = 65,75 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: Pmax = 456,3 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·5890 = 6,519 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00125, 0,0007) = 0,0007 (kuningan)

Beban terbesar

Pmax = 0,0007·6,519 × 10⁸ = 456316 N = 456,3 kN

Jawaban

Pmax = 456,3 kN
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 23,55 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/750² = 23551 N = 23,55 kN

Jawaban

Pcr = 23,55 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 17,27 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/15 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Jawaban

σcr = 17,27 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,0559

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(4000·8) = 357,8 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 20/357,8 = 0,0559

Jawaban

ζ = 0,0559

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 5,6 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Hanya k1 dan k2 yang paralel. Pasangan itu seri dengan k3, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k12 = 25 + 40 = 65 kN/m
keq = 65·40/(65 + 40) = 24,76 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(24762/20) = 35,19 rad/s
fn = 35,19/(2π) = 5,6 Hz

Jawaban

fn = 5,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design