Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,5 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 30 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 72 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 1,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 30N₂ = 72η = 95%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 200 mm pada 960 rpm ke puli 400 mm; jarak sumbunya 1200 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 600 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 200 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 600 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 30 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 750 N·m diberikan di C, 0,8 m dari A dan 1 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 30 mmT₀ = 750 N·ma = 0,8 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 40 kNsegmen 1: Ø35 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 125 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 125 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 50 mm diikuti satu siklus kemudian oleh puncak 26,6 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 26,6 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 20 kN/m dan pegas bawah k₂ = 100 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 9,549 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/157,1 = 9,549 N·m

Jawaban

T₁ = 9,549 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 3,902 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,975 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^1,041 = 2,832, T₂ = 600/2,832 = 211,8 N

Daya

P = (600 − 211,8)·10,05 = 3,902 kW

Jawaban

P = 3,902 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 8,964 °

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1200/(80000·38350) = 0,1565 rad

φ = 0,1565·180/π = 8,964°

Jawaban

φ = 8,964°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 78,6 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1/1,8 = 416,7 N·m

T_B = 750·0,8/1,8 = 333,3 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·416667/(π·30³) = 78,6 MPa

Jawaban

τ_max = 78,6 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 78,1 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((50 − −50)/2)² + 60²) = 78,1 MPa

Jawaban

τ_max = 78,1 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 69,2 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 75 + 75·0,5 + −50·0,866 = 69,2 MPa

Jawaban

σ_θ = 69,2 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1355 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·2199 = 2,953 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·800/2,953 × 10⁸ = 0,1355 mm

Jawaban

δ = 0,1355 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 10,21 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 353,7 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·500/200000 = 0,1039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 353,7·2000/70000 = 10,11 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,21 mm

Jawaban

δ = 10,21 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 70,32 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70,32 kN

Jawaban

P_cr = 70,32 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 87,19 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 87,19 mm

Jawaban

d = 87,19 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 128,5, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,09994

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/1)·ln(50/26,6) = 0,6311

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6311/√(39,48 + 0,3983) = 0,09994

Jawaban

ζ = 0,09994

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 4,594 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/100 → k_eq = 20·100/(20 + 100) = 16,67 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(16667/20) = 28,87 rad/s

f_n = 28,87/(2π) = 4,594 Hz

Jawaban

f_n = 4,594 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design