Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 5,5 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 25 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 80 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 5,5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 25N₂ = 80η = 95%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 11 kW pada 960 rpm menggerakkan roda gigi A (32 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (40 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (50 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 11 kWn_in = 960 rpmA = 32B = 40C = 40D = 50η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 40 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 400 N·m diberikan di C, 2,5 m dari A dan 2 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 40 mmT₀ = 400 N·ma = 2,5 mb = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 120 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 40°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 90 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 135 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 10 mm diikuti satu siklus kemudian oleh puncak 7,3 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₁ = 7,3 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 20 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 36,22 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/151,8 = 36,22 N·m

Jawaban

T₁ = 36,22 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 160,9 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 960·(32/40)·(40/50) = 614,4 rpm

ω_out = 2π·614,4/60 = 64,34 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 11000·0,97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/64,34 = 160,9 N·m

Jawaban

T_out = 160,9 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,915 °

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(39000·38350) = 0,03343 rad

φ = 0,03343·180/π = 1,915°

Jawaban

φ = 1,915°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 3,897 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·2/4,5 = 177,8 N·m

T_B = 400·2,5/4,5 = 222,2 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 177778·2500/(26000·251327) = 0,06801 rad = 3,897°

Jawaban

φ_C = 3,897°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 70 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 90 MPa, R = √((−30)² + 40²) = 50 MPa

σ₁ = 140 MPa, σ₂ = 40 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(100, 140, 40)/2 = 70 MPa

Jawaban

τ_abs = 70 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 126,3 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 80 + 40·0,1736 + 40·0,9848 = 126,3 MPa

Jawaban

σ_θ = 126,3 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,2709 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·2199 = 2,953 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·400/2,953 × 10⁸ = 0,2709 mm

Jawaban

δ = 0,2709 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 286,5 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 286,5 MPa

Jawaban

σ_max = 286,5 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 55,56 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1250² = 55563 N = 55,56 kN

Jawaban

P_cr = 55,56 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 61,1 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·135000 = 337500 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 61,1 mm

Jawaban

d = 61,1 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 130,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,05003

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/1)·ln(10/7,3) = 0,3147

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3147/√(39,48 + 0,09904) = 0,05003

Jawaban

ζ = 0,05003

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,627 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 20 + 30 = 50 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(50000/40) = 35,36 rad/s

f_n = 35,36/(2π) = 5,627 Hz

Jawaban

f_n = 5,627 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design