Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 202,5 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 3 mm dan reduksi kecepatan 3,5 : 1. Berapa jumlah gigi N₁ yang harus dimiliki pinion?

a = 202,5 mmm = 3 mmi = 3,5

N₁ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 18 gigi dan setiap roda gigi planet 15 gigi. Pembawa planet ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1500 rpm. Cari kecepatan n_r roda gigi cincin (besarnya).

N_s = 18N_p = 15n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 15 mm dipuntir oleh torsi 20 N·m. Kedua ujung panjang ukur 400 mm berputar 3,55° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 20 N·md = 15 mmL = 400 mmφ = 3,55°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 75 kW pada 500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 38 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 90 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 50 kg pada pegas dengan kekakuan 5 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,3. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 50 kgk = 5 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 50 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₁ = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·202,5/3 = 135

Bagi menurut rasio

N₁ = 135/(1 + 3,5) = 30

Jawaban

N₁ = 30

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_r = 562,5 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 18 + 2·15 = 48

Persamaan Willis dengan pembawa diam

Dengan n_c = 0, matahari menggerakkan cincin melalui planet, yang bertindak sebagai roda perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·18/48 = −562,5 rpm

|n_r| = 562,5 rpm

Jawaban

n_r = 562,5 rpm

Cincin berputar berlawanan arah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: G = 25,98 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 3,55·π/180 = 0,06196 rad

Modulus geser

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(4970·0,06196) = 25979 MPa

G = 25,98 GPa

Jawaban

G = 25,98 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 87,58 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·25/408885 = 87,58 MPa

Jawaban

τ_max = 87,58 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 67,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((160 − 40)/2)² + 30²) = 67,08 MPa

Jawaban

τ_max = 67,08 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 110 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −110·−1 + 40·0 = 110 MPa

Jawaban

τ_θ = 110 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,02624 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 80000·400/1,22 × 10⁹ = 0,02624 mm

Jawaban

δ = 0,02624 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 8,177 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 183,3·1500/200000 = 1,375 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·1000/117000 = 6,801 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,177 mm

Jawaban

δ = 8,177 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 65,8 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/4000² = 65797 N = 65,8 kN

Jawaban

P_cr = 65,8 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 87,73 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/20 = 150

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

Jawaban

σ_cr = 87,73 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,518 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(5000/50) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,3²) = 1,518 Hz

Jawaban

f_d = 1,518 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 6,164 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 50 = 150 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(150000/100) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

Jawaban

f_n = 6,164 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design