Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
d1​ = 80 mmd2​ = 250 mm1450 rpmT1​ = 800 NT2​ = 240 NP = ?

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 80 mm pada 1450 rpm. Tegangannya 800 N pada sisi tarik dan 240 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d1 = 80 mmn1 = 1450 rpmT1 = 800 NT2 = 240 N
P = kW
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
d1​ = 160 mmd2​ = 315 mm1440 rpmC = 500 mmT1​ = 1000 NT2​P = ?

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 160 mm pada 1440 rpm ke puli 315 mm; jarak sumbunya 500 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 1000 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d1 = 160 mmn1 = 1440 rpmd2 = 315 mmC = 500 mmμ = 0,35T1 = 1000 N
P = kW
3.Torsi porosSedang
d1​ = 30 mmd2​ = 20 mmT = 100 N·mABC2,5 m0,5 m

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 30 mm dan panjang 2,5 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 100 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φC ujung C, dalam derajat.

T = 100 N·md1 = 30 mm, L1 = 2,5 md2 = 20 mm, L2 = 0,5 mG = 39 GPa
φC = °
4.Torsi porosSulit
d = 25 mmT0​ = 100 N·mACBa = 1,5 mb = 0,5 m

Poros baja pejal berdiameter 25 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 100 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 0,5 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 25 mmT0 = 100 N·ma = 1,5 mb = 0,5 m
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 20σy​ = −80τxy​ = 40MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = 20 MPaσy = −80 MPaτxy = 40 MPa
θs = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan poros

Poros pejal berdiameter 40 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 30 kN bersama torsi 2000 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 40 mmF = −30 kNT = 2000 N·m
τmax = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmAluminium0,5 mP = 95 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
80 kN12400 mm400 mmØ25Ø60σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 400 mm, E = 110 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m50 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 2,5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 2 kN/mc = 70 N·s/mm = 10 kg

Massa 10 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 2 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 70 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 10 kgk = 2 kN/mc = 70 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 20k2​ = 80m = 5 kg

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 20 kN/m dan k₂ = 80 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk1 = 20 kN/mk2 = 80 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 3,401 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 6,074 m/s

Daya

P = (800 − 240)·6,074 = 3401 W = 3,401 kW

Jawaban

P = 3,401 kW
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 7,584 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,83 rad

Tegangan sisi kendor

eμθ = e0,9906 = 2,693, T₂ = 1000/2,693 = 371,3 N

Daya

P = (1000 − 371,3)·12,06 = 7,584 kW

Jawaban

P = 7,584 kW
3.Torsi poros

Jawaban: φC = 9,295 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J1 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
J2 = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 100000·2500/(39000·79522) = 0,08061 rad
φBC = 100000·500/(39000·15708) = 0,08162 rad

Puntiran total

φC = 0,08061 + 0,08162 = 0,1622 rad = 9,295°

Jawaban

φC = 9,295°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 24,45 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·0,5/2 = 25 N·m
TB = 100·1,5/2 = 75 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τmax = 16·75000/(π·25³) = 24,45 MPa

Jawaban

τmax = 24,45 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = −25,67 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = 40/64,03 = 0,6247, sin 2θs = −50/64,03 = −0,7809
2θs = atan2(−50, 40) = −51,34°

Sudut pada elemen

θs = −25,67°
periksa: θs − θp = −25,67 − 19,33 = −45°

Jawaban

θs = −25,67°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 159,6 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −30000/(π·40²/4) = −30000/1257 = −23,87 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·40³) = 159,2 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −11,94 MPa
R = √((−11,94)² + 159,2²) = 159,6 MPa

Jawaban

τmax = 159,6 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1920 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 95·1000/706,9 = 134,4 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 134,4/70000 = 0,00192 = 1920 µε

Jawaban

ε = 1920 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 21,51 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 110000·2827/400 = 777544 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 80000·777544/1,023 × 10⁶ = 60806 N

Tegangan

σ2 = 60806/2827 = 21,51 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 21,51 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 35,98 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2000 = 4000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4000² = 35983 N = 35,98 kN

Jawaban

Pcr = 35,98 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 49,35 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Jawaban

σcr = 49,35 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,2475

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(2000·10) = 282,8 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 70/282,8 = 0,2475

Jawaban

ζ = 0,2475

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 22,51 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 20 + 80 = 100 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(100000/5) = 141,4 rad/s
fn = 141,4/(2π) = 22,51 Hz

Jawaban

fn = 22,51 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design