Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,1 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi dan modul 2,5 mm. Cari gaya tangensial F_t pada gigi pinion.

P = 1,1 kWn = 960 rpmN₁ = 16m = 2,5 mm

F_t = N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (48 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan roda gigi B (80 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (80 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 2900 rpmA = 48B = 80C = 18D = 80

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 15 mm dipuntir oleh torsi 75 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 4,43° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 4,43°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal meneruskan 5 kW pada 1500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,5° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 100 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 400 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 0,8 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 55° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σ_n yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 400 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 55 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 80 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 110 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 110 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 50 kg pada pegas dengan kekakuan 5 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,4. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 50 kgk = 5 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 100 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 5 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: F_t = 547,1 N

Geometri roda gigi: modul m menentukan ukuran gigi. Roda gigi dengan N gigi memiliki diameter jarak bagi d = m·N, dua roda gigi yang berpasangan memiliki modul yang sama, dan jarak sumbunya a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Kecepatan garis jarak bagi v = π·d·n/60, dan gaya tangensial gigi diperoleh dari torsi: F_t = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 1100/100,5 = 10,94 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 2,5·16 = 40 mm

Gaya tangensial

F_t = 2T/d = 2·10,94/0,04 = 547,1 N

Jawaban

F_t = 547,1 N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 391,5 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 2900·48/80 = 1740 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1740·18/80 = 391,5 rpm

Jawaban

n_out = 391,5 rpm

rasio total = 7,407 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: G = 39,03 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 4,43·π/180 = 0,07732 rad

Modulus geser

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0,07732) = 39034 MPa

G = 39,03 GPa

Jawaban

G = 39,03 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 26,11 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·80)) = 12,65 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 26,11 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(12,65, 26,11) = 26,11 mm

Jawaban

d = 26,11 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 56,21 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 70 MPa, R = √(30² + 30²) = 42,43 MPa

σ₁ = 112,4 MPa, σ₂ = 27,57 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(84,85, 112,4, 27,57)/2 = 56,21 MPa

Jawaban

τ_abs = 56,21 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_n = 21,26 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σ_h = pr/t dan tegangan aksial σ_a = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 0,8·200/5 = 32 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σ_n = 16·sin²55° + 32·cos²55° = 21,26 MPa

Jawaban

σ_n = 21,26 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,419 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/200000 = 0,001368 = 1368 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001368·2500 mm = 3,419 mm

Jawaban

δ = 3,419 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,901 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/70000 = 1,364 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·1000/200000 = 3,537 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,901 mm

Jawaban

δ = 4,901 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 8,996 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/2000² = 8996 N = 8,996 kN

Jawaban

P_cr = 8,996 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 96,06 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 96,06 mm

Jawaban

d = 96,06 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 208,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,459 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(5000/50) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,4²) = 1,459 Hz

Jawaban

f_d = 1,459 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,998 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 5 + 50 = 55 kN/m

k_eq = 55·100/(55 + 100) = 35,48 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(35484/100) = 18,84 rad/s

f_n = 18,84/(2π) = 2,998 Hz

Jawaban

f_n = 2,998 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design