Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 5,5 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 24 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 40 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 5,5 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 24N₂ = 40η = 96%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (32 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (48 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (48 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1500 rpmA = 32B = 48C = 18D = 48

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 40 N·m. Kedua ujung panjang ukur 400 mm berputar 2,24° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 40 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 2,24°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 1450 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −30 MPa dan σᵧ = −20 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai −10 MPa?

σ_x = −30 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = −10 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 115 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 200 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 50 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 1900 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 200 kgk = 50 kN/mc = 1900 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 20 kN/m dan pegas bawah k₂ = 10 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 35,01 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/157,1 = 35,01 N·m

Jawaban

T₁ = 35,01 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 375 rpm

Tingkat pertama

n_B = 1500·32/48 = 1000 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1000·18/48 = 375 rpm

Jawaban

n_out = 375 rpm

rasio total = 4 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: G = 26,05 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 2,24·π/180 = 0,0391 rad

Modulus geser

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·400/(15708·0,0391) = 26054 MPa

G = 26,05 GPa

Jawaban

G = 26,05 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 43,77 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 100000/151,8 = 658,6 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·658572/(π·40)) = 43,77 mm

Jawaban

d = 43,77 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 14,14 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (−30 + (−20))/2 = −25 MPa

R = σ₁ − C = −10 − (−25) = 15 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(15² − 5²) = 14,14 MPa

Jawaban

τ_xy = 14,14 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 17,04 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−45·−0,6428 + 60·0,766 = 17,04 MPa

Jawaban

τ_θ = 17,04 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 1819 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/70000 = 0,001819 = 1819 µε

Jawaban

ε = 1819 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,768 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 162,7 MPa

σ₂ = 572 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 162,7·1000/70000 = 2,324 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 572·500/117000 = 2,444 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,768 mm

Jawaban

δ = 4,768 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 197,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1750² = 197744 N = 197,7 kN

Jawaban

P_cr = 197,7 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 49,35 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Jawaban

σ_cr = 49,35 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,3004

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·200) = 6325 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 1900/6325 = 0,3004

Jawaban

ζ = 0,3004

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 1,838 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/10 → k_eq = 20·10/(20 + 10) = 6,667 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(6667/50) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Jawaban

f_n = 1,838 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design