Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 4 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi dan modul 4 mm. Cari gaya tangensial F_t pada gigi pinion.

P = 4 kWn = 2900 rpmN₁ = 16m = 4 mm

F_t = N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (25 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan roda gigi B (30 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (32 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 2900 rpmA = 25B = 30C = 12D = 32

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 50 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 50 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −30 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 350 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = −30 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 50 mm, panjang 300 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 30 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 90 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 90 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 40 mm diikuti 3 siklus kemudian oleh puncak 22,7 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 40 mmx₃ = 22,7 mmn = 3

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 10 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: F_t = 411,6 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 4000/303,7 = 13,17 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 4·16 = 64 mm

Gaya tangensial

F_t = 2T/d = 2·13,17/0,064 = 411,6 N

Jawaban

F_t = 411,6 N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 906,3 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 2900·25/30 = 2417 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 2417·12/32 = 906,3 rpm

Jawaban

n_out = 906,3 rpm

rasio total = 3,2 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 16,63 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(26000·79522) = 0,2902 rad

φ = 0,2902·180/π = 16,63°

Jawaban

φ = 16,63°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 40,03 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,592 × 10⁶·30/1,193 × 10⁶ = 40,03 MPa

Jawaban

τ_max = 40,03 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −67,5 °

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −20/28,28 = −0,7071, sin 2θ_s = −20/28,28 = −0,7071

2θ_s = atan2(−20, −20) = −135°

Sudut pada elemen

θ_s = −67,5°

periksa: θ_s − θ_p = −67,5 − (−22,5) = −45°

Jawaban

θ_s = −67,5°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 3,426

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −55 MPa, R = 47,17 MPa

σ₁ = −7,83 MPa, σ₂ = −102,2 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 102,2 MPa

n = 350/102,2 = 3,426

Jawaban

n = 3,426

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 52,45 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/5,719 × 10⁻⁶ = 52452 N = 52,45 kN

Jawaban

P = 52,45 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,8654 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 23,87 MPa

σ₂ = 149,2 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 23,87·1000/200000 = 0,1194 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 149,2·1000/200000 = 0,746 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8654 mm

Jawaban

δ = 0,8654 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 24,22 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·5000 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24,22 kN

Jawaban

P_cr = 24,22 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 73,03 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 73,03 mm

Jawaban

d = 73,03 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 191,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,03004

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/3)·ln(40/22,7) = 0,1888

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1888/√(39,48 + 0,03566) = 0,03004

Jawaban

ζ = 0,03004

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 110 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 10 = 110 kN/m

Jawaban

k_eq = 110 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design