Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 4 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 32 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 4 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 20N₂ = 32η = 95%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (25 gigi) pada poros masukan berputar pada 1500 rpm dan menggerakkan roda gigi B (45 gigi). Roda gigi C (30 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 625 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1500 rpmA = 25B = 45C = 30n_out = 625 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1200 mm dan tebal dinding 12 mm berisi gas bertekanan gauge 1,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 25° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τ_n| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 1,5 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 30 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 90 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 90 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 10 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 1 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 10 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 10 kgk = 1 kN/mc = 10 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 10 kN/m dan pegas bawah k₂ = 100 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 60,48 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 39,79·32/20·0,95 = 60,48 N·m

Jawaban

T₂ = 60,48 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 40

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1500·25/45 = 833,3 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 30·833,3/625 = 40

Jawaban

N_D = 40

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 5,542 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(39000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Jawaban

φ = 5,542°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 8,237 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Momen inersia polar

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·50/5,796 × 10⁶ = 8,237 MPa

Jawaban

τ_max = 8,237 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 70,67 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·20, 70 − 120) = 141,3°

Sudut pada elemen

θ_p = 70,67°

Jawaban

θ_p = 70,67°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τ_n| = 14,36 MPa

Tegangan dinding

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1,5·600/12 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τ_n| = (75 − 37,5)·sin 25°·cos 25° = 14,36 MPa

Jawaban

|τ_n| = 14,36 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,6063 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/706,9 = 42,44 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 42,44/70000 = 0,0006063 = 606,3 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0006063·1000 mm = 0,6063 mm

Jawaban

δ = 0,6063 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 633,8 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8,451 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,001143) = 0,00075 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,00075·8,451 × 10⁸ = 633816 N = 633,8 kN

Jawaban

P_max = 633,8 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 158,8 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·2500 = 5000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Jawaban

P_cr = 158,8 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 100,1 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 100,1 mm

Jawaban

d = 100,1 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 239,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,05

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(1000·10) = 200 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 10/200 = 0,05

Jawaban

ζ = 0,05

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,393 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/100 → k_eq = 10·100/(10 + 100) = 9,091 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(9091/20) = 21,32 rad/s

f_n = 21,32/(2π) = 3,393 Hz

Jawaban

f_n = 3,393 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design