Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 100 mm pada 2880 rpm menggerakkan puli 400 mm dengan sabuk yang slipnya 2 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 400 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 15 gigi dan setiap roda gigi planet 15 gigi. Pembawa planet ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1440 rpm. Cari kecepatan n_r roda gigi cincin (besarnya).

N_s = 15N_p = 15n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 750 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 1000 N·m bekerja di B, 3 m dari A, dan torsi 1000 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 3 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 1000 N·mAB = 3 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1000 mm dan tebal dinding 6 mm berisi gas bertekanan gauge 1,2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 25° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σ_n yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 1000 mmt = 6 mmp = 1,2 MPaα = 25°

σ_n = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 60 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 15 mm diikuti 4 siklus kemudian oleh puncak 3,3 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 15 mmx₄ = 3,3 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada pegas k₃ = 80 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 40 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 705,6 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

2880·100/400 = 720 rpm

Dengan slip

n₂ = 720·0,98 = 705,6 rpm

Jawaban

n₂ = 705,6 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_r = 480 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·15 = 45

Persamaan Willis dengan pembawa diam

Dengan n_c = 0, matahari menggerakkan cincin melalui planet, yang bertindak sebagai roda perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·15/45 = −480 rpm

|n_r| = 480 rpm

Jawaban

n_r = 480 rpm

Cincin berputar berlawanan arah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 8,768 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(39000·251327) = 0,153 rad

φ = 0,153·180/π = 8,768°

Jawaban

φ = 8,768°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 159,2 MPa

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 1000 = 2000 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·40³) = 159,2 MPa

Jawaban

τ_max = 159,2 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −13,28 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−30, 160 − 40) = −26,57°

Sudut pada elemen

θ_p = −13,28°

Jawaban

θ_p = −13,28°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_n = 91,07 MPa

Tegangan dinding

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1,2·500/6 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σ_n = 50·sin²25° + 100·cos²25° = 91,07 MPa

Jawaban

σ_n = 91,07 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 131,5 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0,25/1,901 × 10⁻⁶ = 131509 N = 131,5 kN

Jawaban

P = 131,5 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 55,43 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 100000·706,9/300 = 235619 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 80000·235619/481056 = 39184 N

Tegangan

σ₂ = 39184/706,9 = 55,43 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 55,43 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 137,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2100² = 137322 N = 137,3 kN

Jawaban

P_cr = 137,3 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 8,812 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/15 = 280

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Jawaban

σ_cr = 8,812 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,06014

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/4)·ln(15/3,3) = 0,3785

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3785/√(39,48 + 0,1433) = 0,06014

Jawaban

ζ = 0,06014

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 11,36 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 100 + 40 = 140 kN/m

k_eq = 140·80/(140 + 80) = 50,91 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(50909/10) = 71,35 rad/s

f_n = 71,35/(2π) = 11,36 Hz

Jawaban

f_n = 11,36 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design