Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 24 gigi dan modul 3 mm. Cari gaya tangensial F_t pada gigi pinion.

P = 15 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 3 mm

F_t = N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 12 gigi dan setiap roda gigi planet 18 gigi. Pembawa planet ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1800 rpm. Cari kecepatan n_r roda gigi cincin (besarnya).

N_s = 12N_p = 18n_s = 1800 rpm

n_r = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 75 kW pada 300 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 75 kWN = 300 rpmd_o = 60 mmd_i = 48 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 50 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1000 mm dan tebal dinding 10 mm berisi gas bertekanan gauge 1 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 55° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τ_n| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 1000 mmt = 10 mmp = 1 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang tembaga akibat beban aksial.

P = 20 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 150 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 100 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatabung: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 12 mm diikuti 3 siklus kemudian oleh puncak 5,6 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₃ = 5,6 mmn = 3

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 5 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: F_t = 2763 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 15000/150,8 = 99,47 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 3·24 = 72 mm

Gaya tangensial

F_t = 2T/d = 2·99,47/0,072 = 2763 N

Jawaban

F_t = 2763 N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_r = 450 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·18 = 48

Persamaan Willis dengan pembawa diam

Dengan n_c = 0, matahari menggerakkan cincin melalui planet, yang bertindak sebagai roda perantara.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1800·12/48 = −450 rpm

|n_r| = 450 rpm

Jawaban

n_r = 450 rpm

Cincin berputar berlawanan arah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 21,55 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·38350) = 0,3761 rad

φ = 0,3761·180/π = 21,55°

Jawaban

φ = 21,55°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 95,34 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Momen inersia polar

J = π(60⁴ − 48⁴)/32 = 751193 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 2,387 × 10⁶·30/751193 = 95,34 MPa

Jawaban

τ_max = 95,34 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 26,51 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 35 MPa, R = √(15² + (−10)²) = 18,03 MPa

σ₁ = 53,03 MPa, σ₂ = 16,97 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(36,06, 53,03, 16,97)/2 = 26,51 MPa

Jawaban

τ_abs = 26,51 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τ_n| = 11,75 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σ_h = pr/t dan tegangan aksial σ_a = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1·500/10 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τ_n| = (50 − 25)·sin 55°·cos 55° = 11,75 MPa

Jawaban

|τ_n| = 11,75 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,088 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 20·1000/78,54 = 254,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for tembaga = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 254,6/117000 = 0,002176 = 2176 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002176·500 mm = 1,088 mm

Jawaban

δ = 1,088 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 325,9 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6,519 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,0005·6,519 × 10⁸ = 325940 N = 325,9 kN

Jawaban

P_max = 325,9 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 62,01 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Jawaban

P_cr = 62,01 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 12,34 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Jawaban

σ_cr = 12,34 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,0404

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/3)·ln(12/5,6) = 0,254

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,254/√(39,48 + 0,06454) = 0,0404

Jawaban

ζ = 0,0404

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,935 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 5 = 17 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(17000/50) = 18,44 rad/s

f_n = 18,44/(2π) = 2,935 Hz

Jawaban

f_n = 2,935 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design