Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 12N2​ = 16

Sebuah motor 1,5 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 12 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 16 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 1,5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 12N2 = 16η = 97%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 12B = 60C = 25D = 50

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan roda gigi B (60 gigi). Roda gigi C (25 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (50 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1440 rpmA = 12B = 60C = 25D = 50
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
do​ = ?T = 400 N·m

Poros berongga harus menahan torsi 400 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

T = 400 N·mdi/do = 0,75τallow = 50 MPa
do = mm
4.Torsi porosSulit
Tdo​ = 100 mm, di​ = 50 mm

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 1500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

P = 100 kWN = 1500 rpmdo = 100 mmdi = 50 mm
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 120σy​ = 120τxy​ = 50MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.

σx = 120 MPaσy = 120 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 100σy​ = 80τxy​ = −30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σx = 100 MPaσy = 80 MPaτxy = −30 MPaθ = 30°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12500 mm300 mmØ40Ø30δ = 0,3 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 25 mmAluminium2 mØ 16 mmBaja1,5 mP = 115 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 115 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 m50 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 10 kNL = 2 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 10 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 10 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
tx30 mm3 siklus17 mm

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 30 mm diikuti 3 siklus kemudian oleh puncak 17 mm. Cari rasio redaman ζ.

x0 = 30 mmx3 = 17 mmn = 3
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 60k2​ = 30m = 5 kg

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk1 = 60 kN/mk2 = 30 kN/m
keq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 12,35 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/157,1 = 9,549 N·m

Torsi keluaran

T2 = 9,549·16/12·0,97 = 12,35 N·m

Jawaban

T2 = 12,35 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 144 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1440·12/60 = 288 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 288·25/50 = 144 rpm

Jawaban

nout = 144 rpm

rasio total = 10 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: do = 39,06 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 400 N·m = 400000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·400000/(π·50·0,6836)) = 39,06 mm
di = 0,75·39,06 = 29,3 mm

Jawaban

do = 39,06 mm

Poros pejal memerlukan d = 34,41 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 3,458 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(100⁴ − 50⁴)/32 = 9,204 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τmax = T·(do/2)/J = 636620·50/9,204 × 10⁶ = 3,458 MPa

Jawaban

τmax = 3,458 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 50 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Jari-jari lingkaran Mohr

τmax = R = √(((120 − 120)/2)² + 50²) = 50 MPa

Jawaban

τmax = 50 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σθ = 69,02 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

σθ = 90 + 10·0,5 + −30·0,866 = 69,02 MPa

Jawaban

σθ = 69,02 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 48,13 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/6,234 × 10⁻⁶ = 48127 N = 48,13 kN

Jawaban

P = 48,13 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 572 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 234,3 MPa
σ2 = 572 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 572 MPa

Jawaban

σmax = 572 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 839,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1400² = 839252 N = 839,3 kN

Jawaban

Pcr = 839,3 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 30,67 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 30,67 mm

Jawaban

d = 30,67 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 130,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,03012

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/3)·ln(30/17) = 0,1893

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1893/√(39,48 + 0,03585) = 0,03012

Jawaban

ζ = 0,03012
12.Getaran mekanis

Jawaban: keq = 90 kN/m

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 60 + 30 = 90 kN/m

Jawaban

keq = 90 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design