Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 30 gigi dan modul 2 mm. Cari gaya tangensial F_t pada gigi pinion.

P = 2,2 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 2 mm

F_t = N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 11 kW pada 2900 rpm menggerakkan roda gigi A (25 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (12 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (36 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 11 kWn_in = 2900 rpmA = 25B = 72C = 12D = 36η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 50 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1500 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 2,5 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 50 mmT₀ = 1500 N·ma = 1,5 mb = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 110 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = 110 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 400 mm dan tebal dinding 12 mm berisi gas bertekanan gauge 1,2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 50° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τ_n| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 400 mmt = 12 mmp = 1,2 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 10 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 250 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 60 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 50 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 10 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 3,6 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 3,6 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 15 kN/m dan pegas bawah k₂ = 50 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 20 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 50 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: F_t = 486,3 N

Geometri roda gigi: modul m menentukan ukuran gigi. Roda gigi dengan N gigi memiliki diameter jarak bagi d = m·N, dua roda gigi yang berpasangan memiliki modul yang sama, dan jarak sumbunya a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Kecepatan garis jarak bagi v = π·d·n/60, dan gaya tangensial gigi diperoleh dari torsi: F_t = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 2200/150,8 = 14,59 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 2·30 = 60 mm

Gaya tangensial

F_t = 2T/d = 2·14,59/0,06 = 486,3 N

Jawaban

F_t = 486,3 N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 288,4 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 2900·(25/72)·(12/36) = 335,6 rpm

ω_out = 2π·335,6/60 = 35,15 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 11000·0,96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/35,15 = 288,4 N·m

Jawaban

T_out = 288,4 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,7003 °

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(80000·613592) = 0,01222 rad

φ = 0,01222·180/π = 0,7003°

Jawaban

φ = 0,7003°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 5,05 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·2,5/4 = 937,5 N·m

T_B = 1500·1,5/4 = 562,5 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 937500·1500/(26000·613592) = 0,08815 rad = 5,05°

Jawaban

φ_C = 5,05°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 93,94 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = 25 MPa, R = √(85² + 40²) = 93,94 MPa

σ₁ = 118,9 MPa, σ₂ = −68,94 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(187,9, 118,9, 68,94)/2 = 93,94 MPa

Jawaban

τ_abs = 93,94 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ berlawanan tanda, jadi maksimum sebidang R juga merupakan maksimum absolut.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τ_n| = 4,924 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σ_h = pr/t dan tegangan aksial σ_a = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,2·200/12 = 20 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τ_n| = (20 − 10)·sin 50°·cos 50° = 4,924 MPa

Jawaban

|τ_n| = 4,924 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,421 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/70000 = 0,0007105 = 710,5 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0007105·2000 mm = 1,421 mm

Jawaban

δ = 1,421 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 659,7 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N

Regangan penentu

ε = min(0,00125, 0,0006) = 0,0006 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·1,1 × 10⁹ = 659734 N = 659,7 kN

Jawaban

P_max = 659,7 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 11,75 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/1400² = 11750 N = 11,75 kN

Jawaban

P_cr = 11,75 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 41,44 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 41,44 mm

Jawaban

d = 41,44 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 96,53, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,08103

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(10/3,6) = 0,5108

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5108/√(39,48 + 0,2609) = 0,08103

Jawaban

ζ = 0,08103

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 11,54 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/50 → k_eq = 15·50/(15 + 50) = 11,54 kN/m

Jawaban

k_eq = 11,54 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design