Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 72N2​ = 80

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 72 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 80 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 2,2 kWn1 = 960 rpmN1 = 72N2 = 80η = 95%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 12B = 16C = 12D = ?

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan berputar pada 3000 rpm dan menggerakkan roda gigi B (16 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 337,5 rpm. Berapa jumlah gigi ND yang harus dimiliki roda gigi D?

nin = 3000 rpmA = 12B = 16C = 12nout = 337,5 rpm
ND =
3.Torsi porosSedang
T = 500 N·md = 40 mmL = 2,5 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
do​ = ?5 kW, 750 rpm

Poros berongga harus meneruskan 5 kW pada 750 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil do.

P = 5 kWN = 750 rpmdi/do = 0,8τallow = 75 MPa
do = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = −40σy​ = 90τxy​ = 40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = −40 MPaσy = 90 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan poros

Poros pejal berdiameter 30 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 110 kN bersama torsi 750 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ1.

d = 30 mmF = −110 kNT = 750 N·m
σ1 = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 10 mmBaja3 mP = 120 kN

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 10 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12500 mm400 mmØ25Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 6 m30 × 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 130 kNL = 6 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 130 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 130 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 150 kN/mζ = 0,7m = 100 kg

Massa 100 kg pada pegas dengan kekakuan 150 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.

m = 100 kgk = 150 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 15k2​ = 20m = 5 kg

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 15 kN/m dan pegas bawah k₂ = 20 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk1 = 15 kN/mk2 = 20 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 23,1 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/100,5 = 21,88 N·m

Torsi keluaran

T2 = 21,88·80/72·0,95 = 23,1 N·m

Jawaban

T2 = 23,1 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: ND = 80

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

nB = nC = 3000·12/16 = 2250 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

ND = C·nC/nout = 12·2250/337,5 = 80

Jawaban

ND = 80
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 10,96 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(26000·251327) = 0,1913 rad
φ = 0,1913·180/π = 10,96°

Jawaban

φ = 10,96°
4.Torsi poros

Jawaban: do = 19,42 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·75·0,5904)) = 19,42 mm
di = 0,8·19,42 = 15,53 mm

Jawaban

do = 19,42 mm

Poros pejal memerlukan d = 16,29 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = 74,2 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·40, −40 − 90) = 148,4°

Sudut pada elemen

θp = 74,2°

Jawaban

θp = 74,2°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ1 = 83,65 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −110000/(π·30²/4) = −110000/706,9 = −155,6 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa
στxyCσ1​σ2​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −77,81 MPa
R = √((−77,81)² + 141,5²) = 161,5 MPa
σ1 = C + R = 83,65 MPa
σ2 = C − R = −239,3 MPa

Jawaban

σ1 = 83,65 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 7639 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1528/200000 = 0,007639 = 7639 µε

Jawaban

ε = 7639 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 36,38 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm
k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·490874/687223 = 71429 N

Tegangan

σ2 = 71429/1963 = 36,38 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 36,38 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 29,61 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3000² = 29609 N = 29,61 kN

Jawaban

Pcr = 29,61 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 136,3 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 136,3 mm

Jawaban

d = 136,3 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 176,1, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: fd = 4,402 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ωn = √(150000/100) = 38,73 rad/s
fn = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

Frekuensi alami teredam

fd = fn·√(1 − ζ²) = 6,164·√(1 − 0,7²) = 4,402 Hz

Jawaban

fd = 4,402 Hz
12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 6,59 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/15 + 1/20 → keq = 15·20/(15 + 20) = 8,571 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(8571/5) = 41,4 rad/s
fn = 41,4/(2π) = 6,59 Hz

Jawaban

fn = 6,59 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design