Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 7,5 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 20 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 24 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 95%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 7,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 20N₂ = 24η = 95%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (18 gigi) pada poros masukan berputar pada 960 rpm dan menggerakkan roda gigi B (80 gigi). Roda gigi C (15 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 129,6 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 960 rpmA = 18B = 80C = 15n_out = 129,6 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 25 mm, panjang 1,2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 500 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 500 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 75 kW pada 500 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 600 mm dan tebal dinding 15 mm berisi gas bertekanan gauge 3 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 55° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σ_n yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 600 mmt = 15 mmp = 3 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 55 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 50 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 26,7 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 50 mmx₅ = 26,7 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada pegas k₃ = 15 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 20 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 85,05 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/100,5 = 74,6 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 74,6·24/20·0,95 = 85,05 N·m

Jawaban

T₂ = 85,05 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 25

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 960·18/80 = 216 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 15·216/129,6 = 25

Jawaban

N_D = 25

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,532 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Sudut puntir

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1200/(39000·575243) = 0,02674 rad

φ = 0,02674·180/π = 1,532°

Jawaban

φ = 1,532°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 45,99 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Jawaban

d = 45,99 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −66,35 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −60/88,46 = −0,6783, sin 2θ_s = −65/88,46 = −0,7348

2θ_s = atan2(−65, −60) = −132,7°

Sudut pada elemen

θ_s = −66,35°

periksa: θ_s − θ_p = −66,35 − (−21,35) = −45°

Jawaban

θ_s = −66,35°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_n = 39,87 MPa

Tegangan dinding

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 3·300/15 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σ_n = 30·sin²55° + 60·cos²55° = 39,87 MPa

Jawaban

σ_n = 39,87 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 49,32 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/1,014 × 10⁻⁵ = 49316 N = 49,32 kN

Jawaban

P = 49,32 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 14,32 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 57,17·1500/200000 = 0,4287 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486,3·2000/70000 = 13,89 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 14,32 mm

Jawaban

δ = 14,32 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 52,99 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Jawaban

P_cr = 52,99 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 34,27 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12,5 = 240

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34,27 MPa

Jawaban

σ_cr = 34,27 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,01997

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(50/26,7) = 0,1255

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1255/√(39,48 + 0,01574) = 0,01997

Jawaban

ζ = 0,01997

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,874 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 20 + 80 = 100 kN/m

k_eq = 100·15/(100 + 15) = 13,04 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(13043/40) = 18,06 rad/s

f_n = 18,06/(2π) = 2,874 Hz

Jawaban

f_n = 2,874 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design