Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 45N2​ = 50

Sebuah motor 4 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 45 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 50 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T1 pada poros motor.

P = 4 kWn1 = 960 rpmN1 = 45N2 = 50η = 96%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 25B = 72C = 16D = 36

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (25 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (36 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 1500 rpmA = 25B = 72C = 16D = 36
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
do​ = 50, di​ = 38 mmT = 500 N·mL = 1,2 m

Poros kuningan berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 38 mm, panjang 1,2 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 500 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 500 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 100 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 100 kWN = 300 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 100σy​ = −10τxy​ = −40MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θp dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 100 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPa
θp = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = −80σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σx = −80 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaθ = 45°
τθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
P = ?12400 mm300 mmØ40Ø60δ = 0,25 mm

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 60 mm, panjang 300 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,25 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø60 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmAluminium1 mØ 12 mmKuningan0,5 mP = 75 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 75 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
δ = mm
9.Tekuk kolomSedang
PL = 2 md = 30 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 6 md = 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 200 kN/mc = 2680 N·s/mm = 100 kg

Massa 100 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 200 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 2680 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 100 kgk = 200 kN/mc = 2680 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 80k2​ = 12m = 5 kg

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 80 kN/m dan pegas bawah k₂ = 12 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T1 = 39,79 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s
T1 = P/ω₁ = 4000/100,5 = 39,79 N·m

Jawaban

T1 = 39,79 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 231,5 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 1500·25/72 = 520,8 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 520,8·16/36 = 231,5 rpm

Jawaban

nout = 231,5 rpm

rasio total = 6,48 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,156 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴

Sudut puntir

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·1200/(39000·408885) = 0,03763 rad
φ = 0,03763·180/π = 2,156°

Jawaban

φ = 2,156°
4.Torsi poros

Jawaban: d = 60,01 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·75)) = 60,01 mm

Jawaban

d = 60,01 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θp = −18,01 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−40, 100 − −10) = −36,03°

Sudut pada elemen

θp = −18,01°

Jawaban

θp = −18,01°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τθ = 30 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi

τθ = −−30·1 + 30·0 = 30 MPa

Jawaban

τθ = 30 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 101 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·2827) = 8,842 × 10⁻⁷ mm/N

Beban

P = 0,25/2,476 × 10⁻⁶ = 100980 N = 101 kN

Jawaban

P = 101 kN
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,831 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 106,1 MPa
σ2 = 663,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ1 = σ1L1/E1 = 106,1·1000/70000 = 1,516 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 663,1·500/100000 = 3,316 mm
δ = δ1 + δ2 = 4,831 mm

Jawaban

δ = 4,831 mm
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 19,62 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Jawaban

Pcr = 19,62 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 1,919 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²
r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/10 = 600

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Jawaban

σcr = 1,919 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,2996

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·100) = 8944 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 2680/8944 = 0,2996

Jawaban

ζ = 0,2996

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 7,271 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/80 + 1/12 → keq = 80·12/(80 + 12) = 10,43 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(10435/5) = 45,68 rad/s
fn = 45,68/(2π) = 7,271 Hz

Jawaban

fn = 7,271 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design