Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 160 mm pada 1500 rpm. Tegangannya 600 N pada sisi tarik dan 240 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmT₁ = 600 NT₂ = 240 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (16 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 3000 rpm menggerakkan roda gigi B (36 gigi). Roda gigi C (20 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (45 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 3000 rpmA = 16B = 36C = 20D = 45

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal sepanjang 0,5 m menahan torsi 200 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 3°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 200 N·mL = 0,5 mG = 26 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 750 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 25 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 130 kN bersama torsi 500 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 25 mmF = −130 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 115 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 80 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 80 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 5 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 10 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 180 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 5 kgk = 10 kN/mc = 180 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 5 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 4,524 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 12,57 m/s

Daya

P = (600 − 240)·12,57 = 4524 W = 4,524 kW

Jawaban

P = 4,524 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 592,6 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 3000·16/36 = 1333 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1333·20/45 = 592,6 rpm

Jawaban

n_out = 592,6 rpm

rasio total = 5,063 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: d = 29,41 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·500/(26000·0,05236) = 73456 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 29,41 mm

Jawaban

d = 29,41 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 23,49 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Jawaban

d = 23,49 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = 49,73 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −10/60,83 = −0,1644, sin 2θ_s = −(−60)/60,83 = 0,9864

2θ_s = atan2(60, −10) = 99,46°

Sudut pada elemen

θ_s = 49,73°

periksa: θ_s − θ_p = 49,73 − (−85,27) = 135°

Jawaban

θ_s = 49,73°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 77,57 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −130000/(π·25²/4) = −130000/490,9 = −264,8 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −132,4 MPa

R = √((−132,4)² + 163²) = 210 MPa

σ₁ = C + R = 77,57 MPa

σ₂ = C − R = −342,4 MPa

Jawaban

σ₁ = 77,57 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,05051 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5890 = 4,752 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·300/4,752 × 10⁸ = 0,05051 mm

Jawaban

δ = 0,05051 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 9,77 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 1017 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 234,3·2000/100000 = 4,686 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 1017·500/100000 = 5,084 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,77 mm

Jawaban

δ = 9,77 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 2,559 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/3000² = 2559 N = 2,559 kN

Jawaban

P_cr = 2,559 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 137,4 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 137,4 mm

Jawaban

d = 137,4 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 349,3, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,4025

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·5) = 447,2 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 180/447,2 = 0,4025

Jawaban

ζ = 0,4025

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 55 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 5 = 55 kN/m

Jawaban

k_eq = 55 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design