Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi dan modul 2 mm. Cari gaya tangensial F_t pada gigi pinion.

P = 11 kWn = 1450 rpmN₁ = 16m = 2 mm

F_t = N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 80 mm pada 1450 rpm ke puli 200 mm; jarak sumbunya 1200 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 2000 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 80 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 200 mmC = 1200 mmμ = 0,35T₁ = 2000 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 1,5 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 2 m. Torsi 200 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 200 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 30 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 30 kWN = 3000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 130 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 60 kNsegmen 1: Ø40 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, baja (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 30 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 15 kg pada pegas dengan kekakuan 2 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 15 kgk = 2 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada pegas k₃ = 30 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 25 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: F_t = 4528 N

Geometri roda gigi: modul m menentukan ukuran gigi. Roda gigi dengan N gigi memiliki diameter jarak bagi d = m·N, dua roda gigi yang berpasangan memiliki modul yang sama, dan jarak sumbunya a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Kecepatan garis jarak bagi v = π·d·n/60, dan gaya tangensial gigi diperoleh dari torsi: F_t = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 11000/151,8 = 72,44 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 2·16 = 32 mm

Gaya tangensial

F_t = 2T/d = 2·72,44/0,032 = 4528 N

Jawaban

F_t = 4528 N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 7,958 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 3,042 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^1,065 = 2,9, T₂ = 2000/2,9 = 689,8 N

Daya

P = (2000 − 689,8)·6,074 = 7,958 kW

Jawaban

P = 7,958 kW

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 15,92 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·60³) = 4,716 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·40³) = 15,92 MPa

Jawaban

τ_max = 15,92 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: d = 18,65 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Jawaban

d = 18,65 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −34,72 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, −50 − −80) = −69,44°

Sudut pada elemen

θ_p = −34,72°

Jawaban

θ_p = −34,72°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 143,4 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 105 + 25·0,766 + 30·0,6428 = 143,4 MPa

Jawaban

σ_θ = 143,4 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 40,39 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/9,903 × 10⁻⁶ = 40392 N = 40,39 kN

Jawaban

P = 40,39 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 191 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 191 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 191 MPa

Jawaban

σ_max = 191 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 37,85 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37,85 kN

Jawaban

P_cr = 37,85 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 49,43 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 49,43 mm

Jawaban

d = 49,43 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 121,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,312 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(2000/15) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,838·√(1 − 0,7²) = 1,312 Hz

Jawaban

f_d = 1,312 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 9,161 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 12 + 25 = 37 kN/m

k_eq = 37·30/(37 + 30) = 16,57 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(16567/5) = 57,56 rad/s

f_n = 57,56/(2π) = 9,161 Hz

Jawaban

f_n = 9,161 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design