Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,5 kW pada 1440 rpm menggerakkan cacing dengan 2 ulir. Roda cacing memiliki 40 gigi dan efisiensi penggeraknya 55%. Cari torsi keluaran T_w pada poros roda cacing.

z = 2N_w = 40n = 1440 rpmP = 1,5 kWη = 55%

T_w = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 160 mm pada 2880 rpm ke puli 450 mm; jarak sumbunya 1000 mm. Koefisien gesekan adalah 0,25 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 800 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 450 mmC = 1000 mmμ = 0,25T₁ = 800 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 2000 N·m bekerja di B, 2,5 m dari A, dan torsi 1500 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 1500 N·mAB = 2,5 mBC = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = 110 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Elemen diputar 60° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 60°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = −40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 60 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 95 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 25 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 7,1 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 25 mmx₅ = 7,1 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 25 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_w = 109,4 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 1440·2/40 = 72 rpm

Torsi keluaran

ω_w = 2π·72/60 = 7,54 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,55·1500/7,54 = 109,4 N·m

Jawaban

T_w = 109,4 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 9,837 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,851 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,7126 = 2,039, T₂ = 800/2,039 = 392,3 N

Daya

P = (800 − 392,3)·24,13 = 9,837 kW

Jawaban

P = 9,837 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 11,67 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(80000·38350) = 0,2037 rad

φ = 0,2037·180/π = 11,67°

Jawaban

φ = 11,67°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 1,425 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 2000 = −500 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −500000·2500/(80000·251327) = −0,06217 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·500/(80000·251327) = 0,0373 rad

Puntiran ujung C

φ_C = −0,06217 + 0,0373 = −0,02487 rad → |φ_C| = 1,425°

Jawaban

φ_C = 1,425°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 78,3 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 60 − (−50)·(−0,5) − (−50)·0,866 = 78,3 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 41,7 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 78,3 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −36,49 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −30·0,9848 + −40·0,1736 = −36,49 MPa

Jawaban

τ_θ = −36,49 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 21,83 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 763,9/70000 = 0,01091 = 10913 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,01091·2000 mm = 21,83 mm

Jawaban

δ = 21,83 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 11,39 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·1000/100000 = 1,935 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·2000/100000 = 9,45 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,39 mm

Jawaban

δ = 11,39 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 13,89 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13,89 kN

Jawaban

P_cr = 13,89 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 35,25 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Jawaban

σ_cr = 35,25 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,04004

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(25/7,1) = 0,2518

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2518/√(39,48 + 0,06338) = 0,04004

Jawaban

ζ = 0,04004

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 6,366 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 25 = 40 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(40000/25) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6,366 Hz

Jawaban

f_n = 6,366 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design