Roda gigi & rangkaian roda gigi
- Roda gigi yang berpasangan
- n1·N1 = n2·N2
- Torsi
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Daya
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian roda gigi majemuk
- rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat
Perancangan Elemen Mesin: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Torsi poros
- Tegangan geser
- τ = T·r/J
- Poros pejal
- J = πd⁴/32
- Poros berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut puntir
- φ = TL/(GJ)
- Daya
- P = T·ω = 2πnT/60
Metode
- Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
- Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
- Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jari-jari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegangan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Bidang miring
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metode
- Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
- Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegangan & regangan aksial
- Tegangan normal
- σ = F/A
- Regangan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pertambahan panjang
- ΔL = FL/(EA)
- Regangan termal
- εT = α·ΔT
Tekuk kolom
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang efektif
- K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
- Tegangan kritis
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanis
- Frekuensi alami
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Dari defleksi statis
- ωn = √(g/δst)
- Redaman kritis
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Rasio redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Dekremen logaritmik
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Pegas paralel
- k = k1 + k2
- Pegas seri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soal latihan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 24 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 48 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.
P = 11 kWn1 = 2900 rpmN1 = 24N2 = 48η = 98%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 18 gigi dan setiap roda gigi planet 12 gigi. Roda gigi cincin ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1800 rpm. Cari kecepatan nc pembawa planet.
Ns = 18Np = 12ns = 1800 rpm
nc = rpm
3.Torsi porosSedang
Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.
T = 200 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Poros berongga meneruskan 50 kW pada 3000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.
P = 50 kWN = 3000 rpmdo = 40 mmdi = 24 mm
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 150 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.
σx = 150 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σθ pada bidang yang normalnya diputar 25° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.
σx = −50 MPaσy = 10 MPaτxy = 20 MPaθ = 25°
σθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.
P = 35 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.
P = 85 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 140 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.
P = 140 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
Massa 5 kg pada pegas dengan kekakuan 4 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.
m = 5 kgk = 4 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 100 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 15 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
m = 20 kgk1 = 25 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 100 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: T2 = 70,99 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Torsi motor
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/303,7 = 36,22 N·m
Torsi keluaran
T2 = 36,22·48/24·0,98 = 70,99 N·m
Jawaban
T2 = 70,99 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: nc = 540 rpm
Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.
Jumlah gigi roda gigi cincin
Nr = Ns + 2·Np = 18 + 2·12 = 42
Persamaan Willis dengan cincin diam
Ambil nr = 0 dan selesaikan untuk kecepatan pembawa.
(1800 − nc)/(0 − nc) = −42/18
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1800·18/60 = 540 rpm
Jawaban
nc = 540 rpm
Pembawa berputar searah dengan matahari.
3.Torsi poros
Jawaban: φ = 0,8549 °
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Momen inersia polar
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Sudut puntir
φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·251327) = 0,01492 rad
φ = 0,01492·180/π = 0,8549°
Jawaban
φ = 0,8549°
4.Torsi poros
Jawaban: τmax = 14,55 MPa
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Torsi
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m
Momen inersia polar
J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴
Tegangan geser maksimum
τmax = T·(do/2)/J = 159155·20/218755 = 14,55 MPa
Jawaban
τmax = 14,55 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: τmax = 62,65 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Jari-jari lingkaran Mohr
τmax = R = √(((150 − 40)/2)² + 30²) = 62,65 MPa
Jawaban
τmax = 62,65 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: σθ = −23,96 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Persamaan transformasi
σθ = −20 + −30·0,6428 + 20·0,766 = −23,96 MPa
Jawaban
σθ = −23,96 MPa
7.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: δ = 1,783 mm
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
Tegangan
A = π·25²/4 = 490,9 mm²
σ = P/A = 35·1000/490,9 = 71,3 MPa
Regangan (hukum Hooke)
E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 71,3/100000 = 0,000713 = 713 µε
Pertambahan panjang
δ = ε·L = 0,000713·2500 mm = 1,783 mm
Jawaban
δ = 1,783 mm
8.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: σmax = 422,8 MPa
Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.
Gaya sama di kedua segmen
Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 67,64 MPa
σ2 = 422,8 MPa
Tegangan terbesar
Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.
σmax = 422,8 MPa
Jawaban
σmax = 422,8 MPa
9.Tekuk kolom
Jawaban: Pcr = 73,43 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
Panjang efektif
KL = 0,7·4000 = 2800 mm
Beban kritis
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2800² = 73435 N = 73,43 kN
Jawaban
Pcr = 73,43 kN
10.Tekuk kolom
Jawaban: d = 71,41 mm
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Beban kritis yang diperlukan
Pcr = n·P = 2·140000 = 280000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 71,41 mm
Jawaban
d = 71,41 mm
Periksa: kelangsingan KL/r adalah 168, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.
11.Getaran mekanis
Jawaban: fd = 3,215 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi alami tak teredam
ωn = √(4000/5) = 28,28 rad/s
fn = 28,28/(2π) = 4,502 Hz
Frekuensi alami teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,7²) = 3,215 Hz
Jawaban
fd = 3,215 Hz
12.Getaran mekanis
Jawaban: fn = 6,015 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Hanya k1 dan k2 yang paralel. Pasangan itu seri dengan k3, jadi gabungkan sebagai kebalikan.
k12 = 25 + 15 = 40 kN/m
keq = 40·100/(40 + 100) = 28,57 kN/m
Frekuensi alami
ωn = √(28571/20) = 37,8 rad/s
fn = 37,8/(2π) = 6,015 Hz
Jawaban
fn = 6,015 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design