Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 7,5 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 30 gigi dan modul 4 mm. Cari gaya tangensial F_t pada gigi pinion.

P = 7,5 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 4 mm

F_t = N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (36 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (60 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (80 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1450 rpmA = 36B = 40C = 60D = 80

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 50 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 70 MPa dan σᵧ = 90 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 145 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 145 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 120 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 500 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 15 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 15 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 12 kg pada pegas dengan kekakuan 5 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 12 kgk = 5 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 80 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 10 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: F_t = 828,9 N

Geometri roda gigi: modul m menentukan ukuran gigi. Roda gigi dengan N gigi memiliki diameter jarak bagi d = m·N, dua roda gigi yang berpasangan memiliki modul yang sama, dan jarak sumbunya a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Kecepatan garis jarak bagi v = π·d·n/60, dan gaya tangensial gigi diperoleh dari torsi: F_t = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 7500/150,8 = 49,74 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 4·30 = 120 mm

Gaya tangensial

F_t = 2T/d = 2·49,74/0,12 = 828,9 N

Jawaban

F_t = 828,9 N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 978,8 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1450·36/40 = 1305 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1305·60/80 = 978,8 rpm

Jawaban

n_out = 978,8 rpm

rasio total = 1,481 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 13,86 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(26000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Jawaban

φ = 13,86°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 20,75 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·25/575243 = 20,75 MPa

Jawaban

τ_max = 20,75 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 64,23 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (70 + 90)/2 = 80 MPa

R = σ₁ − C = 145 − 80 = 65 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 10²) = 64,23 MPa

Jawaban

τ_xy = 64,23 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 90,18 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 20 + 100·0,766 + 10·−0,6428 = 90,18 MPa

Jawaban

σ_θ = 90,18 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,142 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8,451 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·800/8,451 × 10⁸ = 0,142 mm

Jawaban

δ = 0,142 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 7,717 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 100000·1963/500 = 392699 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 20000·392699/518363 = 15152 N

Tegangan

σ₂ = 15152/1963 = 7,717 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 7,717 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 13,49 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2000² = 13494 N = 13,49 kN

Jawaban

P_cr = 13,49 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 36,92 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 36,92 mm

Jawaban

d = 36,92 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 216,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 2,32 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(5000/12) = 20,41 rad/s

f_n = 20,41/(2π) = 3,249 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,249·√(1 − 0,7²) = 2,32 Hz

Jawaban

f_d = 2,32 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,075 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 10 + 60 = 70 kN/m

k_eq = 70·80/(70 + 80) = 37,33 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(37333/100) = 19,32 rad/s

f_n = 19,32/(2π) = 3,075 Hz

Jawaban

f_n = 3,075 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design