Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 150 mm pada 1500 rpm menggerakkan puli 315 mm dengan sabuk yang slipnya 2 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 315 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 150 mm pada 2880 rpm ke puli 500 mm; jarak sumbunya 600 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 1200 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 150 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0,35T₁ = 1200 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal sepanjang 0,8 m menahan torsi 200 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 3°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 200 N·mL = 0,8 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 30 kW pada 300 rpm tanpa tegangan geser melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 420 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 200 kN. Cari pemendekan δ.

P = 200 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 40 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 140 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 15 mm diikuti 4 siklus kemudian oleh puncak 2 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 15 mmx₄ = 2 mmn = 4

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 15 kN/m dan pegas bawah k₂ = 20 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 700 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1500·150/315 = 714,3 rpm

Dengan slip

n₂ = 714,3·0,98 = 700 rpm

Jawaban

n₂ = 700 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 16,02 kW

Sudut kontak

θ = 2,55 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,8924 = 2,441, T₂ = 1200/2,441 = 491,6 N

Daya

P = (1200 − 491,6)·22,62 = 16,02 kW

Jawaban

P = 16,02 kW

3.Torsi poros

Jawaban: d = 29,89 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·800/(39000·0,05236) = 78353 mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 29,89 mm

Jawaban

d = 29,89 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 49,54 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Jawaban

d = 49,54 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −61,85 °

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −20/36,06 = −0,5547, sin 2θ_s = −30/36,06 = −0,8321

2θ_s = atan2(−30, −20) = −123,7°

Sudut pada elemen

θ_s = −61,85°

periksa: θ_s − θ_p = −61,85 − (−16,85) = −45°

Jawaban

θ_s = −61,85°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 2,214

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = 70 MPa, R = 94,87 MPa

σ₁ = 164,9 MPa, σ₂ = −24,87 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 189,7 MPa

n = 420/189,7 = 2,214

Jawaban

n = 2,214

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,09009 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5027 = 6,66 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 200000·300/6,66 × 10⁸ = 0,09009 mm

Jawaban

δ = 0,09009 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 198,9 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 198,9 MPa

Jawaban

σ_max = 198,9 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,422 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/2500² = 4422 N = 4,422 kN

Jawaban

P_cr = 4,422 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 63,18 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 63,18 mm

Jawaban

d = 63,18 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 133, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,07991

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/4)·ln(15/2) = 0,5037

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5037/√(39,48 + 0,2537) = 0,07991

Jawaban

ζ = 0,07991

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 4,66 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/20 → k_eq = 15·20/(15 + 20) = 8,571 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(8571/10) = 29,28 rad/s

f_n = 29,28/(2π) = 4,66 Hz

Jawaban

f_n = 4,66 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design