Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 80 mm pada 960 rpm. Tegangannya 1000 N pada sisi tarik dan 400 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 80 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1000 NT₂ = 400 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 2,2 kW pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi A (18 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (45 gigi). Roda gigi C (48 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (50 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 2,2 kWn_in = 1450 rpmA = 18B = 45C = 48D = 50η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 40 mm dan panjang 0,8 m; segmen BC berdiameter 20 mm dan panjang 2 m. Torsi 400 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal meneruskan 15 kW pada 750 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 1° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 15 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −20 MPa, σᵧ = 70 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 50 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 80 kN bersama torsi 750 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 50 mmF = −80 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 10 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 20 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 150 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 150 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 4 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 60 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 40 kgk = 4 kN/mc = 60 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 50 kN/m dan k₂ = 5 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 2,413 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 4,021 m/s

Daya

P = (1000 − 400)·4,021 = 2413 W = 2,413 kW

Jawaban

P = 2,413 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 36,24 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 1450·(18/45)·(48/50) = 556,8 rpm

ω_out = 2π·556,8/60 = 58,31 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 2200·0,98² = 2113 W

T_out = P_out/ω_out = 2113/58,31 = 36,24 N·m

Jawaban

T_out = 36,24 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 254,6 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Tegangan pada tiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Jawaban

τ_max = 254,6 MPa

4.Torsi poros

Jawaban: d = 45,5 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 45,5 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(23,49, 45,5) = 45,5 mm

Jawaban

d = 45,5 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 54,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−20 − 70)/2)² + 30²) = 54,08 MPa

Jawaban

τ_max = 54,08 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 16,35 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −80000/(π·50²/4) = −80000/1963 = −40,74 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −20,37 MPa

R = √((−20,37)² + 30,56²) = 36,73 MPa

σ₁ = C + R = 16,35 MPa

σ₂ = C − R = −57,1 MPa

Jawaban

σ₁ = 16,35 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,03537 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/200000 = 7,074 × 10⁻⁵ = 70,74 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 7,074 × 10⁻⁵·500 mm = 0,03537 mm

Jawaban

δ = 0,03537 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,02 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 99,47 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40,74·1500/117000 = 0,5224 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 99,47·500/100000 = 0,4974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,02 mm

Jawaban

δ = 1,02 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 57,12 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/6000² = 57116 N = 57,12 kN

Jawaban

P_cr = 57,12 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 65,65 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 65,65 mm

Jawaban

d = 65,65 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 121,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,075

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·40) = 800 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 60/800 = 0,075

Jawaban

ζ = 0,075

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,902 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 5 = 55 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(55000/40) = 37,08 rad/s

f_n = 37,08/(2π) = 5,902 Hz

Jawaban

f_n = 5,902 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design