Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 125 mm pada 720 rpm. Tegangannya 600 N pada sisi tarik dan 240 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 600 NT₂ = 240 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (15 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (32 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 15B = 40C = 32D = 72

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 12 mm dipuntir oleh torsi 20 N·m. Kedua ujung panjang ukur 400 mm berputar 5,77° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 20 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 5,77°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 50 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,8 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 110 MPa dan σᵧ = 20 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 170 MPa?

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 170 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −50 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 95 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 30 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 18,1 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 30 mmx₂ = 18,1 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 40 kN/m dan pegas bawah k₂ = 20 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 1,696 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 4,712 m/s

Daya

P = (600 − 240)·4,712 = 1696 W = 1,696 kW

Jawaban

P = 1,696 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 160 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 960·15/40 = 360 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 360·32/72 = 160 rpm

Jawaban

n_out = 160 rpm

rasio total = 6 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: G = 39,02 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 5,77·π/180 = 0,1007 rad

Modulus geser

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(2036·0,1007) = 39022 MPa

G = 39,02 GPa

Jawaban

G = 39,02 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 31,25 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 265,3 N·m = 265258 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·265258/(π·75·0,5904)) = 31,25 mm

d_i = 0,8·31,25 = 25 mm

Jawaban

d_o = 31,25 mm

Poros pejal memerlukan d = 26,21 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 94,87 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (110 + 20)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 170 − 65 = 105 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 45²) = 94,87 MPa

Jawaban

τ_xy = 94,87 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −41,23 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −40 + −10·0,766 + 10·0,6428 = −41,23 MPa

Jawaban

σ_θ = −41,23 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 63,68 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/6,281 × 10⁻⁶ = 63681 N = 63,68 kN

Jawaban

P = 63,68 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 840 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 840 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 840 MPa

Jawaban

σ_max = 840 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 15,54 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/2000² = 15545 N = 15,54 kN

Jawaban

P_cr = 15,54 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 126,3 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Jawaban

σ_cr = 126,3 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,04018

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(30/18,1) = 0,2526

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2526/√(39,48 + 0,06383) = 0,04018

Jawaban

ζ = 0,04018

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 13,33 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/20 → k_eq = 40·20/(40 + 20) = 13,33 kN/m

Jawaban

k_eq = 13,33 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design