Roda gigi & rangkaian roda gigi
- Roda gigi yang berpasangan
- n1·N1 = n2·N2
- Torsi
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Daya
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian roda gigi majemuk
- rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat
Perancangan Elemen Mesin: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Torsi poros
- Tegangan geser
- τ = T·r/J
- Poros pejal
- J = πd⁴/32
- Poros berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut puntir
- φ = TL/(GJ)
- Daya
- P = T·ω = 2πnT/60
Metode
- Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
- Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
- Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jari-jari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegangan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Bidang miring
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metode
- Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
- Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegangan & regangan aksial
- Tegangan normal
- σ = F/A
- Regangan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pertambahan panjang
- ΔL = FL/(EA)
- Regangan termal
- εT = α·ΔT
Tekuk kolom
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang efektif
- K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
- Tegangan kritis
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanis
- Frekuensi alami
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Dari defleksi statis
- ωn = √(g/δst)
- Redaman kritis
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Rasio redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Dekremen logaritmik
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Pegas paralel
- k = k1 + k2
- Pegas seri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soal latihan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
Sebuah motor 15 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 32 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 45 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T1 pada poros motor.
P = 15 kWn1 = 1440 rpmN1 = 32N2 = 45η = 96%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (24 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 3000 rpm menggerakkan roda gigi B (36 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (25 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.
nin = 3000 rpmA = 24B = 36C = 16D = 25
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
Poros baja pejal sepanjang 2,5 m menahan torsi 750 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 0,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.
T = 750 N·mL = 2,5 mG = 80 GPaφallow = 0,5°
d = mm
4.Torsi porosSulit
Poros berongga harus meneruskan 100 kW pada 300 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil do.
P = 100 kWN = 300 rpmdi/do = 0,5τallow = 60 MPa
do = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −10 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τmax.
σx = −10 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τθ pada bidang yang normalnya diputar 20° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).
σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPaθ = 20°
τθ = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.
P = 90 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.
P = 115 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 60 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 140 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.
P = 140 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
Massa 15 kg pada pegas dengan kekakuan 40 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam fd getaran bebasnya dalam Hz.
m = 15 kgk = 40 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Getaran mekanisSulit
Massa 5 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: T1 = 99,47 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Torsi motor
ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 15000/150,8 = 99,47 N·m
Jawaban
T1 = 99,47 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: nout = 1280 rpm
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Tingkat pertama
nB = 3000·24/36 = 2000 rpm = nC
Tingkat kedua
nout = 2000·16/25 = 1280 rpm
Jawaban
nout = 1280 rpm
rasio total = 2,344 : 1
3.Torsi poros
Jawaban: d = 72,32 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Momen inersia polar yang diperlukan
T = 750 N·m = 750000 N·mm
L = 2,5 m = 2500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad
J = TL/(Gφ) = 750000·2500/(80000·0,008727) = 2,686 × 10⁶ mm⁴
Diameter
d = (32J/π)1/4 = 72,32 mm
Jawaban
d = 72,32 mm
Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.
4.Torsi poros
Jawaban: do = 66,05 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Torsi
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m
Diameter luar dari tegangan izin
T = 3183 N·m = 3,183 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·3,183 × 10⁶/(π·60·0,9375)) = 66,05 mm
di = 0,5·66,05 = 33,03 mm
Jawaban
do = 66,05 mm
Poros pejal memerlukan d = 64,65 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: τmax = 71,59 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Jari-jari lingkaran Mohr
τmax = R = √(((−10 − 120)/2)² + 30²) = 71,59 MPa
Jawaban
τmax = 71,59 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: τθ = −8,893 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Persamaan transformasi
τθ = −−10·0,6428 + −20·0,766 = −8,893 MPa
Jawaban
τθ = −8,893 MPa
7.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: δ = 12,28 mm
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
Tegangan
A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa
Regangan (hukum Hooke)
E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 286,5/70000 = 0,004093 = 4093 µε
Pertambahan panjang
δ = ε·L = 0,004093·3000 mm = 12,28 mm
Jawaban
δ = 12,28 mm
8.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: σmax = 572 MPa
Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.
Gaya sama di kedua segmen
Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 234,3 MPa
σ2 = 572 MPa
Tegangan terbesar
Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.
σmax = 572 MPa
Jawaban
σmax = 572 MPa
9.Tekuk kolom
Jawaban: Pcr = 17,27 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.
Imin = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴
Panjang efektif
KL = 1·5000 = 5000 mm
Beban kritis
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/5000² = 17272 N = 17,27 kN
Jawaban
Pcr = 17,27 kN
10.Tekuk kolom
Jawaban: d = 63,18 mm
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Beban kritis yang diperlukan
Pcr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 63,18 mm
Jawaban
d = 63,18 mm
Periksa: kelangsingan KL/r adalah 133, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.
11.Getaran mekanis
Jawaban: fd = 5,869 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Frekuensi alami tak teredam
ωn = √(40000/15) = 51,64 rad/s
fn = 51,64/(2π) = 8,219 Hz
Frekuensi alami teredam
fd = fn·√(1 − ζ²) = 8,219·√(1 − 0,7²) = 5,869 Hz
Jawaban
fd = 5,869 Hz
12.Getaran mekanis
Jawaban: fn = 23,61 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.
keq = 80 + 30 = 110 kN/m
Frekuensi alami
ωn = √(110000/5) = 148,3 rad/s
fn = 148,3/(2π) = 23,61 Hz
Jawaban
fn = 23,61 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design