Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 80 mm pada 720 rpm. Tegangannya 800 N pada sisi tarik dan 240 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 80 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 800 NT₂ = 240 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 150 mm dan puli 300 mm yang jarak sumbunya 600 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 150 mmd₂ = 300 mmC = 600 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 30 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 0,7° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 30 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,7°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 3000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 80 MPa, σᵧ = 120 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 35 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 20 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 50 mm diikuti satu siklus kemudian oleh puncak 36,5 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 36,5 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 10 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 30 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 1,689 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 3,016 m/s

Daya

P = (800 − 240)·3,016 = 1689 W = 1,689 kW

Jawaban

P = 1,689 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 165,6 °

Sudut sabuk

asin(0,125) = 7,181°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·7,181 = 165,6°

Jawaban

θ = 165,6°

3.Torsi poros

Jawaban: G = 39,08 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,7·π/180 = 0,01222 rad

Modulus geser

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(15708·0,01222) = 39081 MPa

G = 39,08 GPa

Jawaban

G = 39,08 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 4,415 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·37,5/2,704 × 10⁶ = 4,415 MPa

Jawaban

τ_max = 4,415 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 54,22 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −40 − 0) = 108,4°

Sudut pada elemen

θ_p = 54,22°

Jawaban

θ_p = 54,22°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 150 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 100 + −20·0 + 50·1 = 150 MPa

Jawaban

σ_θ = 150 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,4951 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/100000 = 0,0004951 = 495,1 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0004951·1000 mm = 0,4951 mm

Jawaban

δ = 0,4951 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 63,66 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 28,29 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 63,66 MPa

Jawaban

σ_max = 63,66 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 38,86 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/2000² = 38862 N = 38,86 kN

Jawaban

P_cr = 38,86 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 137,1 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Jawaban

σ_cr = 137,1 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,05003

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/1)·ln(50/36,5) = 0,3147

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3147/√(39,48 + 0,09904) = 0,05003

Jawaban

ζ = 0,05003

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 1,44 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 15 + 30 = 45 kN/m

k_eq = 45·10/(45 + 10) = 8,182 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(8182/100) = 9,045 rad/s

f_n = 9,045/(2π) = 1,44 Hz

Jawaban

f_n = 1,44 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design