Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 32 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 40 gigi. Abaikan rugi-rugi. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 32N₂ = 40η = 100%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (24 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 3000 rpm menggerakkan roda gigi B (80 gigi). Roda gigi C (30 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (72 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 3000 rpmA = 24B = 80C = 30D = 72

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 40 N·m. Kedua ujung panjang ukur 250 mm berputar 0,94° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 40 N·md = 20 mmL = 250 mmφ = 0,94°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 25 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 200 N·m diberikan di C, 1,5 m dari A dan 0,5 m dari B. Cari sudut rotasi φ_C penampang C, dalam derajat.

d = 25 mmT₀ = 200 N·ma = 1,5 mb = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 20 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 60 mm menahan momen lentur sebesar 1000 N·m bersama torsi 1000 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 60 mmM = 1000 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 30 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari tembaga (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 120 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: tembaga, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 50 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 75 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 75 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 500 kg pada pegas dengan kekakuan 150 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,7. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 500 kgk = 150 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 40 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 100 kN/m dan k₂ = 10 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 40 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 29,84 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Jawaban

T₁ = 29,84 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 375 rpm

Tingkat pertama

n_B = 3000·24/80 = 900 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 900·30/72 = 375 rpm

Jawaban

n_out = 375 rpm

rasio total = 8 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: G = 38,8 GPa

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,94·π/180 = 0,01641 rad

Modulus geser

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(15708·0,01641) = 38804 MPa

G = 38,8 GPa

Jawaban

G = 38,8 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 2,873 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·0,5/2 = 50 N·m

T_B = 200·1,5/2 = 150 N·m

Rotasi C

Gunakan segmen AC: dijepit di A dan menahan T_A.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 50000·1500/(39000·38350) = 0,05015 rad = 2,873°

Jawaban

φ_C = 2,873°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 40,27 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 20 − 0) = 80,54°

Sudut pada elemen

θ_p = 40,27°

Jawaban

θ_p = 40,27°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 56,92 MPa

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·60³) = 47,16 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·60³) = 23,58 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 23,58 MPa

R = √(23,58² + 23,58²) = 33,35 MPa

σ₁ = C + R = 56,92 MPa

σ₂ = C − R = −9,767 MPa

Jawaban

σ₁ = 56,92 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 64,63 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2,653 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/6,189 × 10⁻⁶ = 64627 N = 64,63 kN

Jawaban

P = 64,63 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,771 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,97·1000/100000 = 0,5197 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·2000/117000 = 4,251 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,771 mm

Jawaban

δ = 4,771 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 8,721 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Jawaban

P_cr = 8,721 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 52,75 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·75000 = 187500 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·187500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 52,75 mm

Jawaban

d = 52,75 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 151,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,969 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(150000/500) = 17,32 rad/s

f_n = 17,32/(2π) = 2,757 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2,757·√(1 − 0,7²) = 1,969 Hz

Jawaban

f_d = 1,969 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 8,346 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 10 = 110 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(110000/40) = 52,44 rad/s

f_n = 52,44/(2π) = 8,346 Hz

Jawaban

f_n = 8,346 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design