Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 120 mm pada 960 rpm menggerakkan puli 315 mm dengan sabuk yang slipnya 4 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 960 rpmd₁ = 120 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (24 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (60 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (45 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 24B = 60C = 12D = 45

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 30 N·m. Kedua ujung panjang ukur 200 mm berputar 0,56° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 30 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 0,56°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros baja pejal berdiameter 60 mm dijepit di A. Torsi 200 N·m bekerja di B, 1,2 m dari A, dan torsi 2000 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 60 mmT_B = 200 N·mT_C = 2000 N·mAB = 1,2 mBC = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −50 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 30 kNd = 20 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 70 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 10 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 2,8 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 2,8 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 100 kN/m dan pegas bawah k₂ = 40 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 50 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 351,1 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

960·120/315 = 365,7 rpm

Dengan slip

n₂ = 365,7·0,96 = 351,1 rpm

Jawaban

n₂ = 351,1 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 102,4 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 960·24/60 = 384 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 384·12/45 = 102,4 rpm

Jawaban

n_out = 102,4 rpm

rasio total = 9,375 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: G = 39,08 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,56·π/180 = 0,009774 rad

Modulus geser

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·200/(15708·0,009774) = 39081 MPa

G = 39,08 GPa

Jawaban

G = 39,08 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 1,779 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 200 = 1800 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,8 × 10⁶·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,02122 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,009824 rad

Puntiran ujung C

φ_C = 0,02122 + 0,009824 = 0,03105 rad → |φ_C| = 1,779°

Jawaban

φ_C = 1,779°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = −58,28 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, −30 − 20) = −116,6°

Sudut pada elemen

θ_p = −58,28°

Jawaban

θ_p = −58,28°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −12,32 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −10 + −30·−0,5 + −20·0,866 = −12,32 MPa

Jawaban

σ_θ = −12,32 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 2,865 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314,2 = 95,49 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95,49/100000 = 0,0009549 = 954,9 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0009549·3000 mm = 2,865 mm

Jawaban

δ = 2,865 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,654 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 72,76 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 72,76·1500/70000 = 1,559 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 618,9·1000/200000 = 3,095 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,654 mm

Jawaban

δ = 4,654 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 13,89 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13,89 kN

Jawaban

P_cr = 13,89 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 6,94 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7,5 = 533,3

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

Jawaban

σ_cr = 6,94 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1008

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(10/2,8) = 0,6365

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6365/√(39,48 + 0,4051) = 0,1008

Jawaban

ζ = 0,1008

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 28,57 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/40 → k_eq = 100·40/(100 + 40) = 28,57 kN/m

Jawaban

k_eq = 28,57 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design