Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 108 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 3 mm dan reduksi kecepatan 2 : 1. Berapa jumlah gigi N₂ yang harus dimiliki roda gigi?

a = 108 mmm = 3 mmi = 2

N₂ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (30 gigi) pada poros masukan berputar pada 1500 rpm dan menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 375 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1500 rpmA = 30B = 72C = 18n_out = 375 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan berongga (diameter luar 50 mm, diameter dalam 25 mm, panjang 0,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 400 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 400 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 5 kW pada 750 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,75 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 5 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = −60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,5 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 105 kNsegmen 1: Ø25 mm, 0,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (baja)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 40 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 150 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 980 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 980 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 20 kN/m dan pegas bawah k₂ = 12 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₂ = 48

Geometri roda gigi: modul m menentukan ukuran gigi. Roda gigi dengan N gigi memiliki diameter jarak bagi d = m·N, dua roda gigi yang berpasangan memiliki modul yang sama, dan jarak sumbunya a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Kecepatan garis jarak bagi v = π·d·n/60, dan gaya tangensial gigi diperoleh dari torsi: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·108/3 = 72

Bagi menurut rasio

N₁ = 72/(1 + 2) = 24

N₂ = 2·24 = 48

Jawaban

N₂ = 48

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 30

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1500·30/72 = 625 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 18·625/375 = 30

Jawaban

N_D = 30

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,5108 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Sudut puntir

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·500/(39000·575243) = 0,008915 rad

φ = 0,008915·180/π = 0,5108°

Jawaban

φ = 0,5108°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 21,17 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·50·0,6836)) = 21,17 mm

d_i = 0,75·21,17 = 15,88 mm

Jawaban

d_o = 21,17 mm

Poros pejal memerlukan d = 18,65 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 50,81 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = −70 MPa, R = √(10² + 30²) = 31,62 MPa

σ₁ = −38,38 MPa, σ₂ = −101,6 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63,25, 38,38, 101,6)/2 = 50,81 MPa

Jawaban

τ_abs = 50,81 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −71,96 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 0 + −40·0,5 + 60·−0,866 = −71,96 MPa

Jawaban

σ_θ = −71,96 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 191,6 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1,019 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,5/2,61 × 10⁻⁶ = 191561 N = 191,6 kN

Jawaban

P = 191,6 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 522,2 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 522,2 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 522,2 MPa

Jawaban

σ_max = 522,2 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 5,371 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/3500² = 5371 N = 5,371 kN

Jawaban

P_cr = 5,371 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 25,18 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/5 = 280

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Jawaban

σ_cr = 25,18 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,2

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 980/4899 = 0,2

Jawaban

ζ = 0,2

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,082 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/12 → k_eq = 20·12/(20 + 12) = 7,5 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(7500/20) = 19,36 rad/s

f_n = 19,36/(2π) = 3,082 Hz

Jawaban

f_n = 3,082 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design