Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 16N2​ = 24

Sebuah motor 7,5 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 24 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 7,5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 24η = 96%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 15B = 20C = 12D = 60

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (15 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (20 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (60 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 960 rpmA = 15B = 20C = 12D = 60
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mφ = ?

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 30 mmTB​ = 1500 N·mTC​ = 1000 N·mABC1,5 m0,5 m

Poros kuningan pejal berdiameter 30 mm dijepit di A. Torsi 1500 N·m bekerja di B, 1,5 m dari A, dan torsi 1000 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.

d = 30 mmTB = 1500 N·mTC = 1000 N·mAB = 1,5 mBC = 0,5 m
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 20σy​ = 80τxy​ = −60MPa

Suatu titik memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari sudut θs, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σx = 20 MPaσy = 80 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
40°D = 400 mm, t = 5 mm, p = 1,2 MPap

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 400 mm dan tebal dinding 5 mm berisi gas bertekanan gauge 1,2 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 40° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σn yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 400 mmt = 5 mmp = 1,2 MPaα = 40°
σn = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 16 mmAluminium0,5 mP = 35 kN

Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 30 mmAluminium2 mØ 16 mmTembaga1,5 mP = 55 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 55 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 m30 × 80 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
P = 145 kNL = 1 md = ?penampang

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 145 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 145 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
k = 2 kN/mc = 100 N·s/mm = 15 kg

Massa 15 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 2 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 100 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 15 kgk = 2 kN/mc = 100 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 30k2​ = 50k3​ = 15m = 10 kg

Massa 10 kg tergantung pada pegas k₃ = 15 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk1 = 30 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 15 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 35,56 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/303,7 = 24,7 N·m

Torsi keluaran

T2 = 24,7·24/16·0,96 = 35,56 N·m

Jawaban

T2 = 35,56 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 144 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 960·15/20 = 720 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 720·12/60 = 144 rpm

Jawaban

nout = 144 rpm

rasio total = 6,667 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,5836 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·613592) = 0,01019 rad
φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Jawaban

φ = 0,5836°
4.Torsi poros

Jawaban: τmax = 188,6 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi dalam

Arah TC diambil sebagai positif.

TBC = TC = 1000 N·m
TAB = TC − TB = 1000 − 1500 = −500 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|max = 1000 N·m
τmax = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188,6 MPa

Jawaban

τmax = 188,6 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θs = 76,72 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

στxyCτmax​

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θs = −60/67,08 = −0,8944, sin 2θs = −(−30)/67,08 = 0,4472
2θs = atan2(30, −60) = 153,4°

Sudut pada elemen

θs = 76,72°
periksa: θs − θp = 76,72 − (−58,28) = 135°

Jawaban

θs = 76,72°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σn = 38,08 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σh = pr/t dan tegangan aksial σa = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 1,2·200/5 = 48 MPa
σa = pr/(2t) = 24 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σa) dan y mengelilingi keliling (σh). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σn = 24·sin²40° + 48·cos²40° = 38,08 MPa

Jawaban

σn = 38,08 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 2487 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 35·1000/201,1 = 174,1 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 174,1/70000 = 0,002487 = 2487 µε

Jawaban

ε = 2487 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 273,5 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 77,81 MPa
σ2 = 273,5 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 273,5 MPa

Jawaban

σmax = 273,5 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 157,9 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1500² = 157914 N = 157,9 kN

Jawaban

Pcr = 157,9 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 80,86 mm

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Beban kritis yang diperlukan

Pcr = n·P = 2,5·145000 = 362500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 80,86 mm

Jawaban

d = 80,86 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 98,93, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,2887

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(2000·15) = 346,4 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 100/346,4 = 0,2887

Jawaban

ζ = 0,2887

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 5,657 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Hanya k1 dan k2 yang paralel. Pasangan itu seri dengan k3, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k12 = 30 + 50 = 80 kN/m
keq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(12632/10) = 35,54 rad/s
fn = 35,54/(2π) = 5,657 Hz

Jawaban

fn = 5,657 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design