Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 80 mm pada 1440 rpm menggerakkan puli 500 mm dengan sabuk yang slipnya 1,5 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 80 mmd₂ = 500 mms = 1,5 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 16 gigi dan setiap roda gigi planet 18 gigi. Roda gigi cincin ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1500 rpm. Cari kecepatan n_c pembawa planet.

N_s = 16N_p = 18n_s = 1500 rpm

n_c = rpm

3.Torsi porosSedang

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 20 mm dipuntir oleh torsi 20 N·m. Kedua ujung panjang ukur 300 mm berputar 0,56° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 20 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 0,56°

G = GPa

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 100 kW pada 750 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 100 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −70 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = −50 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 80 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 35 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 75 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 75 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 100 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 10 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 160 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 100 kgk = 10 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada pegas k₃ = 12 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 10 kN/m dan k₂ = 25 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 226,9 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1440·80/500 = 230,4 rpm

Dengan slip

n₂ = 230,4·0,985 = 226,9 rpm

Jawaban

n₂ = 226,9 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_c = 352,9 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·18 = 52

Persamaan Willis dengan cincin diam

Ambil n_r = 0 dan selesaikan untuk kecepatan pembawa.

(1500 − n_c)/(0 − n_c) = −52/16

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1500·16/68 = 352,9 rpm

Jawaban

n_c = 352,9 rpm

Pembawa berputar searah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: G = 39,08 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,56·π/180 = 0,009774 rad

Modulus geser

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(15708·0,009774) = 39081 MPa

G = 39,08 GPa

Jawaban

G = 39,08 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 17,66 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Momen inersia polar

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,273 × 10⁶·37,5/2,704 × 10⁶ = 17,66 MPa

Jawaban

τ_max = 17,66 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 48,86 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = −55 MPa, R = √(15² + 40²) = 42,72 MPa

σ₁ = −12,28 MPa, σ₂ = −97,72 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(85,44, 12,28, 97,72)/2 = 48,86 MPa

Jawaban

τ_abs = 48,86 MPa

Di sini lingkaran di luar bidang yang menentukan: maksimum absolutnya lebih besar daripada maksimum sebidang R.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −23,66 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −30·0,5 + −10·0,866 = −23,66 MPa

Jawaban

τ_θ = −23,66 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,9947 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/201,1 = 397,9 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/200000 = 0,001989 = 1989 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001989·500 mm = 0,9947 mm

Jawaban

δ = 0,9947 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 5,156 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,3 MPa

σ₂ = 174,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,3·2000/100000 = 1,426 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 174,1·1500/70000 = 3,73 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,156 mm

Jawaban

δ = 5,156 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 731,1 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/1500² = 731082 N = 731,1 kN

Jawaban

P_cr = 731,1 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 72,51 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 72,51 mm

Jawaban

d = 72,51 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 137,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,08

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·100) = 2000 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 160/2000 = 0,08

Jawaban

ζ = 0,08

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 6,728 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 10 + 25 = 35 kN/m

k_eq = 35·12/(35 + 12) = 8,936 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(8936/5) = 42,28 rad/s

f_n = 42,28/(2π) = 6,728 Hz

Jawaban

f_n = 6,728 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design