Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,5 kW pada 1440 rpm menggerakkan cacing dengan 2 ulir. Roda cacing memiliki 45 gigi dan efisiensi penggeraknya 75%. Cari torsi keluaran T_w pada poros roda cacing.

z = 2N_w = 45n = 1440 rpmP = 1,5 kWη = 75%

T_w = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (32 gigi). Roda gigi C (18 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (32 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1450 rpmA = 12B = 32C = 18D = 32

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros baja berongga (diameter luar 30 mm, diameter dalam 18 mm, panjang 0,5 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 200 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.

T = 200 N·md_o = 30 mmd_i = 18 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 60 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 1000 N·m diberikan di C, 3 m dari A dan 2,5 m dari B. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 60 mmT₀ = 1000 N·ma = 3 mb = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −60 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 100 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 160 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 8 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 20 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 160 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 8 kgk = 20 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada pegas k₃ = 15 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 60 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_w = 167,9 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 1440·2/45 = 64 rpm

Torsi keluaran

ω_w = 2π·64/60 = 6,702 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·1500/6,702 = 167,9 N·m

Jawaban

T_w = 167,9 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 305,9 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1450·12/32 = 543,8 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 543,8·18/32 = 305,9 rpm

Jawaban

n_out = 305,9 rpm

rasio total = 4,741 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,035 °

Momen inersia polar

J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴

Sudut puntir

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·500/(80000·69216) = 0,01806 rad

φ = 0,01806·180/π = 1,035°

Jawaban

φ = 1,035°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 12,86 MPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·2,5/5,5 = 454,5 N·m

T_B = 1000·3/5,5 = 545,5 N·m

Tegangan geser maksimum

Yang lebih besar dari kedua torsi yang menentukan (diameter sama).

τ_max = 16·545455/(π·60³) = 12,86 MPa

Jawaban

τ_max = 12,86 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 64,03 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((40 − −40)/2)² + 50²) = 64,03 MPa

Jawaban

τ_max = 64,03 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −3,038 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −50 + −10·0,5 + 60·0,866 = −3,038 MPa

Jawaban

σ_θ = −3,038 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,2264 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·2199 = 2,827 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·800/2,827 × 10⁸ = 0,2264 mm

Jawaban

δ = 0,2264 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 498,7 kN

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·9346 = 9,975 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (kuningan)

Beban terbesar

P_max = 0,0005·9,975 × 10⁸ = 498728 N = 498,7 kN

Jawaban

P_max = 498,7 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 47,74 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1050² = 47744 N = 47,74 kN

Jawaban

P_cr = 47,74 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 35,25 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Jawaban

σ_cr = 35,25 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,2

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·8) = 800 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 160/800 = 0,2

Jawaban

ζ = 0,2

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,676 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 60 + 60 = 120 kN/m

k_eq = 120·15/(120 + 15) = 13,33 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(13333/25) = 23,09 rad/s

f_n = 23,09/(2π) = 3,676 Hz

Jawaban

f_n = 3,676 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design