Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 4 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 15 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 40 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 15N₂ = 40η = 98%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 200 mm dan puli 400 mm yang jarak sumbunya 800 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.

d₁ = 200 mmd₂ = 400 mmC = 800 mm

θ = °

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 20 kW pada 750 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,6 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 20 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 160 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 60 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 60° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 120 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 75 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari kuningan (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 25 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 25 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 200 kg pada pegas dengan kekakuan 20 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,5. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 200 kgk = 20 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 15 kN/m dan k₂ = 12 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 26,34 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151,8 = 26,34 N·m

Jawaban

T₁ = 26,34 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: θ = 165,6 °

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut sabuk

asin(0,125) = 7,181°

Sudut kontak

θ = 180 − 2·7,181 = 165,6°

Jawaban

θ = 165,6°

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 0,8979 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·613592) = 0,01567 rad

φ = 0,01567·180/π = 0,8979°

Jawaban

φ = 0,8979°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 31 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 254,6 N·m = 254648 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·254648/(π·50·0,8704)) = 31 mm

d_i = 0,6·31 = 18,6 mm

Jawaban

d_o = 31 mm

Poros pejal memerlukan d = 29,6 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 72,8 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((160 − 20)/2)² + −20²) = 72,8 MPa

Jawaban

τ_max = 72,8 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 92,32 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 90 + 30·−0,5 + 20·0,866 = 92,32 MPa

Jawaban

σ_θ = 92,32 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 1,705 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 75·1000/314,2 = 238,7 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 238,7/70000 = 0,00341 = 3410 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,00341·500 mm = 1,705 mm

Jawaban

δ = 1,705 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 532,5 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·7461 = 8,875 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,0008) = 0,0006 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·8,875 × 10⁸ = 532500 N = 532,5 kN

Jawaban

P_max = 532,5 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 31,64 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2800² = 31639 N = 31,64 kN

Jawaban

P_cr = 31,64 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 33,53 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 33,53 mm

Jawaban

d = 33,53 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 167, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 1,378 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(20000/200) = 10 rad/s

f_n = 10/(2π) = 1,592 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,592·√(1 − 0,5²) = 1,378 Hz

Jawaban

f_d = 1,378 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 27 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 12 = 27 kN/m

Jawaban

k_eq = 27 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design