Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Cacing dengan 1 ulir berputar pada 960 rpm dan menggerakkan roda cacing dengan 40 gigi. Cari kecepatan n_w roda cacing.

z = 1N_w = 40n = 960 rpm

n_w = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 150 mm pada 1440 rpm ke puli 250 mm; jarak sumbunya 500 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 800 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 250 mmC = 500 mmμ = 0,35T₁ = 800 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 60 mm dan panjang 1,2 m; segmen BC berdiameter 40 mm dan panjang 0,5 m. Torsi 2000 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 2000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 25 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 750 N·m diberikan di C, 0,5 m dari A dan 1 m dari B. Cari torsi reaksi T_A di dinding A.

d = 25 mmT₀ = 750 N·ma = 0,5 mb = 1 m

T_A = N·m

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −70 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa, dengan σ_z = 0. Cari tegangan geser maksimum absolut τ_abs di titik itu (dengan meninjau semua bidang dalam tiga dimensi).

σ_x = −70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 1000 mm dan tebal dinding 12 mm berisi gas bertekanan gauge 0,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 25° terhadap sumbu silinder. Cari besar tegangan geser |τ_n| yang bekerja sepanjang kampuh las.

D = 1000 mmt = 12 mmp = 0,5 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 800 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø25 mm, E = 200 GPatabung: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 30 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 12 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 10 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 140 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 12 kgk = 10 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 30 kN/m dan pegas bawah k₂ = 20 kN/m. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_w = 24 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 960·1/40 = 24 rpm

Jawaban

n_w = 24 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 5,816 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,941 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^1,029 = 2,799, T₂ = 800/2,799 = 285,8 N

Daya

P = (800 − 285,8)·11,31 = 5,816 kW

Jawaban

P = 5,816 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 4,201 °

Momen inersia polar

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 2 × 10⁶·1200/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,02358 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·500/(80000·251327) = 0,04974 rad

Puntiran total

φ_C = 0,02358 + 0,04974 = 0,07331 rad = 4,201°

Jawaban

φ_C = 4,201°

4.Torsi poros

Jawaban: T_A = 500 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi T_A + T_B = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1/1,5 = 500 N·m

T_B = 750·0,5/1,5 = 250 N·m

Jawaban

T_A = 500 N·m

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_abs = 41,23 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Dalam tiga dimensi, tegangan geser maksimum absolut adalah (σ_max − σ_min)/2 dari ketiga tegangan utama; pada tegangan bidang tegangan utama ketiga bernilai nol.

Tegangan utama sebidang

C = −30 MPa, R = √((−40)² + (−10)²) = 41,23 MPa

σ₁ = 11,23 MPa, σ₂ = −71,23 MPa, σ_z = 0

Lingkaran terbesar dari ketiganya

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(82,46, 11,23, 71,23)/2 = 41,23 MPa

Jawaban

τ_abs = 41,23 MPa

Di sini σ₁ dan σ₂ berlawanan tanda, jadi maksimum sebidang R juga merupakan maksimum absolut.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: |τ_n| = 3,99 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Silinder berdinding tipis: tegangan keliling σ_h = pr/t dan tegangan aksial σ_a = pr/(2t); keduanya adalah tegangan utama pada dinding.

Tegangan dinding

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 0,5·500/12 = 20,83 MPa

σ_a = pr/(2t) = 10,42 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

|τ_n| = (20,83 − 10,42)·sin 25°·cos 25° = 3,99 MPa

Jawaban

|τ_n| = 3,99 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,03552 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·9346 = 1,126 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 50000·800/1,126 × 10⁹ = 0,03552 mm

Jawaban

δ = 0,03552 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 52,53 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 70000·706,9/400 = 123700 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 100000·123700/333140 = 37132 N

Tegangan

σ₂ = 37132/706,9 = 52,53 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 52,53 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 27,47 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27,47 kN

Jawaban

P_cr = 27,47 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 77,11 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Jawaban

σ_cr = 77,11 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,2021

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·12) = 692,8 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 140/692,8 = 0,2021

Jawaban

ζ = 0,2021

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,466 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/20 → k_eq = 30·20/(30 + 20) = 12 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(12000/50) = 15,49 rad/s

f_n = 15,49/(2π) = 2,466 Hz

Jawaban

f_n = 2,466 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design