Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 12 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 32 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 11 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 12N₂ = 32η = 97%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 160 mm pada 720 rpm ke puli 300 mm; jarak sumbunya 500 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 2000 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 300 mmC = 500 mmμ = 0,35T₁ = 2000 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 20 kW pada 750 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 70 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 30° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = −50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 500 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 150 kN. Cari pemendekan δ.

P = 150 kNbatang: Ø30 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 120 kNsegmen 1: Ø30 mm, 0,5 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 80 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 50 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 2000 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 80 kgk = 50 kN/mc = 2000 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 12 kN/m dan pegas bawah k₂ = 40 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 93,69 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/303,7 = 36,22 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 36,22·32/12·0,97 = 93,69 N·m

Jawaban

T₂ = 93,69 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 7,631 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,861 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^1,001 = 2,722, T₂ = 2000/2,722 = 734,9 N

Daya

P = (2000 − 734,9)·6,032 = 7,631 kW

Jawaban

P = 7,631 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 21,55 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·38350) = 0,3761 rad

φ = 0,3761·180/π = 21,55°

Jawaban

φ = 21,55°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 13,65 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

Momen inersia polar

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·25/466269 = 13,65 MPa

Jawaban

τ_max = 13,65 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 69,46 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((70 − 0)/2)² + −60²) = 69,46 MPa

Jawaban

τ_max = 69,46 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 40,98 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −−30·0,866 + 30·0,5 = 40,98 MPa

Jawaban

τ_θ = 40,98 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,1474 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·3063 = 5,089 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 150000·500/5,089 × 10⁸ = 0,1474 mm

Jawaban

δ = 0,1474 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 6,11 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 169,8 MPa

σ₂ = 382 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 169,8·500/70000 = 1,213 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 382·1500/117000 = 4,897 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,11 mm

Jawaban

δ = 6,11 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 2,412 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·6000 = 6000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/6000² = 2412 N = 2,412 kN

Jawaban

P_cr = 2,412 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 1,974 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/10 = 1000

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/1000² = 1,974 MPa

Jawaban

σ_cr = 1,974 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,5

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·80) = 4000 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 2000/4000 = 0,5

Jawaban

ζ = 0,5

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 9,231 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/40 → k_eq = 12·40/(12 + 40) = 9,231 kN/m

Jawaban

k_eq = 9,231 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design