Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 18 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 2,2 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 16N₂ = 18η = 96%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (18 gigi) pada poros masukan berputar pada 1450 rpm dan menggerakkan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (16 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 417,6 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1450 rpmA = 18B = 40C = 16n_out = 417,6 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 40 mm dan panjang 1,5 m; segmen BC berdiameter 25 mm dan panjang 2,5 m. Torsi 400 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal meneruskan 5 kW pada 1450 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 80 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,5° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 50 MPa, σᵧ = 90 MPa, dan τₓᵧ = 30 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 120 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 120 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 80 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 85 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 85 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 80 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 25 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 280 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 80 kgk = 25 kN/mc = 280 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 80 kN/m dan pegas bawah k₂ = 5 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 23,63 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 2200/100,5 = 21,88 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 21,88·18/16·0,96 = 23,63 N·m

Jawaban

T₂ = 23,63 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 25

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1450·18/40 = 652,5 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 16·652,5/417,6 = 25

Jawaban

N_D = 25

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 20,39 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 400000·1500/(80000·251327) = 0,02984 rad

φ_BC = 400000·2500/(80000·38350) = 0,3259 rad

Puntiran total

φ_C = 0,02984 + 0,3259 = 0,3558 rad = 20,39°

Jawaban

φ_C = 20,39°

4.Torsi poros

Jawaban: d = 34,87 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·80)) = 12,8 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 34,87 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(12,8, 34,87) = 34,87 mm

Jawaban

d = 34,87 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 84,35 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, −50 − 50) = 168,7°

Sudut pada elemen

θ_p = 84,35°

Jawaban

θ_p = 84,35°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 40 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 70 + −20·0 + 30·−1 = 40 MPa

Jawaban

σ_θ = 40 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 22,92 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 120·1000/78,54 = 1528 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1528/100000 = 0,01528 = 15279 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,01528·1500 mm = 22,92 mm

Jawaban

δ = 22,92 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 415,2 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·8482 = 6,919 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,0006, 0,001143) = 0,0006 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,0006·6,919 × 10⁸ = 415161 N = 415,2 kN

Jawaban

P_max = 415,2 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 225 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1050² = 224989 N = 225 kN

Jawaban

P_cr = 225 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 63,04 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 63,04 mm

Jawaban

d = 63,04 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 190,4, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,09899

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(25000·80) = 2828 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 280/2828 = 0,09899

Jawaban

ζ = 0,09899

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 4,706 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/5 → k_eq = 80·5/(80 + 5) = 4,706 kN/m

Jawaban

k_eq = 4,706 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design