Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 16N2​ = 30

Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 30 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 97%. Cari torsi T1 pada poros motor.

P = 2,2 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 30η = 97%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 12B = 36C = 12D = ?

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda gigi B (36 gigi). Roda gigi C (12 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 192 rpm. Berapa jumlah gigi ND yang harus dimiliki roda gigi D?

nin = 1440 rpmA = 12B = 36C = 12nout = 192 rpm
ND =
3.Torsi porosSedang
T = 200 N·md = 30 mmL = 2,5 mφ = ?

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
d = 20 mmT0​ = 500 N·mACBa = 0,8 mb = 1 m

Poros aluminium pejal berdiameter 20 mm dijepit pada dinding kaku di kedua ujung A dan B. Torsi 500 N·m diberikan di C, 0,8 m dari A dan 1 m dari B. Cari torsi reaksi TA di dinding A.

d = 20 mmT0 = 500 N·ma = 0,8 mb = 1 m
TA = N·m
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 50σy​ = −40MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 50 MPa dan σᵧ = −40 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 90 MPa?

σx = 50 MPaσy = −40 MPaσ1 = 90 MPa
τxy = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​ = 40σy​ = −30τxy​ = 50MPa

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −30 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.

σx = 40 MPaσy = −30 MPaτxy = 50 MPa
σvM = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
50 kNØ20110 GPaØ80/50300 mmδ = ?

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari perunggu (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa). Keduanya panjangnya 300 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø20 mm, E = 200 GPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Ø 35 mmKuningan1,5 mØ 16 mmBaja0,5 mP = 90 kN

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.

P = 90 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 5 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 1 md = 50 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 10 kN/mc = 400 N·s/mm = 25 kg

Massa 25 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 10 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 400 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 25 kgk = 10 kN/mc = 400 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 30k2​ = 60m = 25 kg

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 60 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T1 = 7,244 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Jawaban

T1 = 7,244 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: ND = 30

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

nB = nC = 1440·12/36 = 480 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

ND = C·nC/nout = 12·480/192 = 30

Jawaban

ND = 30
3.Torsi poros

Jawaban: φ = 13,86 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·79522) = 0,2418 rad
φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Jawaban

φ = 13,86°
4.Torsi poros

Jawaban: TA = 277,8 N·m

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω. Jika kedua ujung dijepit, statika saja hanya memberi TA + TB = T₀; persamaan kedua adalah kompatibilitas (puntiran kedua bagian sama di penampang yang dibebani).

Kesetimbangan dan kompatibilitas

TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1/1,8 = 277,8 N·m
TB = 500·0,8/1,8 = 222,2 N·m

Jawaban

TA = 277,8 N·m
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 72,11 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (50 + (−40))/2 = 5 MPa
R = σ1 − C = 90 − 5 = 85 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 45²) = 72,11 MPa

Jawaban

τxy = 72,11 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σvM = 105,8 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.

στxyCσ1​σ2​

Tegangan utama

C = 5 MPa, R = 61,03 MPa
σ1 = 66,03 MPa, σ2 = −56,03 MPa, σ3 = 0

Von Mises

σvM = √(66,03² − 66,03·(−56,03) + (−56,03)²) = 105,8 MPa

Jawaban

σvM = 105,8 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,03752 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·3063 = 3,998 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·300/3,998 × 10⁸ = 0,03752 mm

Jawaban

δ = 0,03752 mm
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σmax = 447,6 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 93,54 MPa
σ2 = 447,6 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σmax = 447,6 MPa

Jawaban

σmax = 447,6 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 49,44 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3500² = 49436 N = 49,44 kN

Jawaban

Pcr = 49,44 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 77,11 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 2·1000 = 2000 mm
KL/r = 2000/12,5 = 160

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Jawaban

σcr = 77,11 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,4

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(10000·25) = 1000 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 400/1000 = 0,4

Jawaban

ζ = 0,4

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 9,549 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 30 + 60 = 90 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(90000/25) = 60 rad/s
fn = 60/(2π) = 9,549 Hz

Jawaban

fn = 9,549 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design