Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 0,75 kW yang berputar pada 960 rpm menggerakkan pinion dengan 32 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 72 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi T₁ pada poros motor.

P = 0,75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 32N₂ = 72η = 98%

T₁ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 960 rpm menggerakkan roda gigi B (18 gigi). Roda gigi C (25 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (48 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 960 rpmA = 12B = 18C = 25D = 48

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 2000 N·m bekerja di B, 1,2 m dari A, dan torsi 2000 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 0,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 50 mmT_B = 2000 N·mT_C = 2000 N·mAB = 1,2 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 40° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 40 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,2 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 15 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 0,5 m, baja (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 30 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 30 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 12 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 6,4 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 6,4 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada pegas k₃ = 80 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 80 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₁ = 7,46 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100,5 = 7,46 N·m

Jawaban

T₁ = 7,46 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 333,3 rpm

Tingkat pertama

n_B = 960·12/18 = 640 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 640·25/48 = 333,3 rpm

Jawaban

n_out = 333,3 rpm

rasio total = 2,88 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,245 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2500/(26000·613592) = 0,03918 rad

φ = 0,03918·180/π = 2,245°

Jawaban

φ = 2,245°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 13,89 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 2000 = 4000 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 4 × 10⁶·1200/(39000·613592) = 0,2006 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·500/(39000·613592) = 0,04179 rad

Puntiran ujung C

φ_C = 0,2006 + 0,04179 = 0,2424 rad → |φ_C| = 13,89°

Jawaban

φ_C = 13,89°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 22,5 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 100 − 80) = 45°

Sudut pada elemen

θ_p = 22,5°

Jawaban

θ_p = 22,5°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = −45,48 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −55·0,9848 + 50·0,1736 = −45,48 MPa

Jawaban

τ_θ = −45,48 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 29,97 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3,617 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,2/6,673 × 10⁻⁶ = 29972 N = 29,97 kN

Jawaban

P = 29,97 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 47,75 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 47,75 MPa

Jawaban

σ_max = 47,75 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 56,25 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2100² = 56247 N = 56,25 kN

Jawaban

P_cr = 56,25 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 54,54 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·30000 = 75000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 54,54 mm

Jawaban

d = 54,54 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 146,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,04996

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(12/6,4) = 0,3143

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3143/√(39,48 + 0,09879) = 0,04996

Jawaban

ζ = 0,04996

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 3,292 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 12 + 80 = 92 kN/m

k_eq = 92·80/(92 + 80) = 42,79 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(42791/100) = 20,69 rad/s

f_n = 20,69/(2π) = 3,292 Hz

Jawaban

f_n = 3,292 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design