Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 3 kW yang berputar pada 1440 rpm menggerakkan pinion dengan 24 gigi dan modul 2,5 mm. Cari gaya tangensial F_t pada gigi pinion.

P = 3 kWn = 1440 rpmN₁ = 24m = 2,5 mm

F_t = N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah motor 1,1 kW pada 1440 rpm menggerakkan roda gigi A (12 gigi), yang berpasangan dengan roda gigi B (80 gigi). Roda gigi C (12 gigi) pada poros yang sama dengan B menggerakkan roda gigi D (50 gigi) pada poros keluaran. Setiap pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T_out.

P = 1,1 kWn_in = 1440 rpmA = 12B = 80C = 12D = 50η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 15 kW pada 1800 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,5 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 60 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 15 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −40 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 350 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).

σ_x = −60 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 85 kNd = 20 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 50 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, baja (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Massa 8 kg pada pegas dengan kekakuan 50 kN/m memiliki peredam viskos yang memberikan rasio redaman 0,5. Cari frekuensi alami teredam f_d getaran bebasnya dalam Hz.

m = 8 kgk = 50 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

12.Getaran mekanisSulit

Massa 20 kg tergantung pada pegas k₃ = 30 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 25 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 20 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: F_t = 663,1 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Torsi pada pinion

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 3000/150,8 = 19,89 N·m

Diameter jarak bagi

d = m·N = 2,5·24 = 60 mm

Gaya tangensial

F_t = 2T/d = 2·19,89/0,06 = 663,1 N

Jawaban

F_t = 663,1 N

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_out = 186,7 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan keluaran

n_out = 1440·(12/80)·(12/50) = 51,84 rpm

ω_out = 2π·51,84/60 = 5,429 rad/s

Daya dan torsi keluaran

P_out = 1100·0,96² = 1014 W

T_out = P_out/ω_out = 1014/5,429 = 186,7 N·m

Jawaban

T_out = 186,7 N·m

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 2,63 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·251327) = 0,04591 rad

φ = 0,04591·180/π = 2,63°

Jawaban

φ = 2,63°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 19,31 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 79,58 N·m = 79577 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·79577/(π·60·0,9375)) = 19,31 mm

d_i = 0,5·19,31 = 9,657 mm

Jawaban

d_o = 19,31 mm

Poros pejal memerlukan d = 18,9 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = −30,13 °

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = 20/40,31 = 0,4961, sin 2θ_s = −35/40,31 = −0,8682

2θ_s = atan2(−35, 20) = −60,26°

Sudut pada elemen

θ_s = −30,13°

periksa: θ_s − θ_p = −30,13 − 14,87 = −45°

Jawaban

θ_s = −30,13°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: n = 5,457

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σ_Y/2.

Tegangan utama

C = −50 MPa, R = 14,14 MPa

σ₁ = −35,86 MPa, σ₂ = −64,14 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 64,14 MPa

n = 350/64,14 = 5,457

Jawaban

n = 5,457

n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 5,411 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/100000 = 0,002706 = 2706 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002706·2000 mm = 5,411 mm

Jawaban

δ = 5,411 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 248,7 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 39,79 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 248,7 MPa

Jawaban

σ_max = 248,7 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 135,7 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1250² = 135652 N = 135,7 kN

Jawaban

P_cr = 135,7 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 26,99 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Jawaban

σ_cr = 26,99 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: f_d = 10,9 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frekuensi alami tak teredam

ω_n = √(50000/8) = 79,06 rad/s

f_n = 79,06/(2π) = 12,58 Hz

Frekuensi alami teredam

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 12,58·√(1 − 0,5²) = 10,9 Hz

Jawaban

f_d = 10,9 Hz

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,21 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 25 + 50 = 75 kN/m

k_eq = 75·30/(75 + 30) = 21,43 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(21429/20) = 32,73 rad/s

f_n = 32,73/(2π) = 5,21 Hz

Jawaban

f_n = 5,21 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design