Roda gigi & rangkaian roda gigi
- Roda gigi yang berpasangan
- n1·N1 = n2·N2
- Torsi
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Daya
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian roda gigi majemuk
- rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat
Perancangan Elemen Mesin: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Torsi poros
- Tegangan geser
- τ = T·r/J
- Poros pejal
- J = πd⁴/32
- Poros berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut puntir
- φ = TL/(GJ)
- Daya
- P = T·ω = 2πnT/60
Metode
- Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
- Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
- Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jari-jari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegangan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Bidang miring
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metode
- Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
- Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegangan & regangan aksial
- Tegangan normal
- σ = F/A
- Regangan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pertambahan panjang
- ΔL = FL/(EA)
- Regangan termal
- εT = α·ΔT
Tekuk kolom
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang efektif
- K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
- Tegangan kritis
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanis
- Frekuensi alami
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Dari defleksi statis
- ωn = √(g/δst)
- Redaman kritis
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Rasio redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Dekremen logaritmik
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Pegas paralel
- k = k1 + k2
- Pegas seri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soal latihan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
Sebuah motor 11 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 24 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi T1 pada poros motor.
P = 11 kWn1 = 2900 rpmN1 = 16N2 = 24η = 96%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (12 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (25 gigi). Roda gigi C (15 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (32 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.
nin = 1450 rpmA = 12B = 25C = 15D = 32
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
Poros aluminium pejal sepanjang 2 m menahan torsi 400 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.
T = 400 N·mL = 2 mG = 26 GPaφallow = 1°
d = mm
4.Torsi porosSulit
Poros berongga meneruskan 20 kW pada 1500 rpm. Cari tegangan geser maksimum τmax pada poros.
P = 20 kWN = 1500 rpmdo = 60 mmdi = 42 mm
τmax = MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
Suatu titik memiliki σₓ = 20 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Elemen diputar 50° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.
σx = 20 MPaσy = 40 MPaτxy = 50 MPaθ = 50°
σy′ = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). Bahan memiliki kekuatan luluh 275 MPa. Cari faktor keamanan n terhadap luluh menurut kriteria Tresca (tegangan geser maksimum).
σx = 100 MPaσy = 0 MPaτxy = 60 MPaσY = 275 MPa
n =
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Cari regangan aksial ε pada batang aluminium, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).
P = 40 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.
P = 40 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 2 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 30 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 55 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.
P = 55 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
Massa 15 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 2 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 70 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.
m = 15 kgk = 2 kN/mc = 70 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
Massa 40 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 10 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen keq sistem pegas dalam kN/m.
m = 40 kgk1 = 60 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m
3Larutan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: T1 = 36,22 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Torsi motor
ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 11000/303,7 = 36,22 N·m
Jawaban
T1 = 36,22 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: nout = 326,3 rpm
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Tingkat pertama
nB = 1450·12/25 = 696 rpm = nC
Tingkat kedua
nout = 696·15/32 = 326,3 rpm
Jawaban
nout = 326,3 rpm
rasio total = 4,444 : 1
3.Torsi poros
Jawaban: d = 65,1 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Momen inersia polar yang diperlukan
T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 1·π/180 = 0,01745 rad
J = TL/(Gφ) = 400000·2000/(26000·0,01745) = 1,763 × 10⁶ mm⁴
Diameter
d = (32J/π)1/4 = 65,1 mm
Jawaban
d = 65,1 mm
Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.
4.Torsi poros
Jawaban: τmax = 3,951 MPa
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Torsi
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m
Momen inersia polar
J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴
Tegangan geser maksimum
τmax = T·(do/2)/J = 127324·30/966855 = 3,951 MPa
Jawaban
τmax = 3,951 MPa
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: σy′ = −20,98 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Persamaan transformasi untuk muka y′
σy′ = 30 − (−10)·(−0,1736) − 50·0,9848 = −20,98 MPa
Periksa
Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.
σx′ = 80,98 MPa, σx′ + σy′ = 60 = σx + σy
Jawaban
σy′ = −20,98 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: n = 1,761
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.
Tegangan utama
C = 50 MPa, R = 78,1 MPa
σ1 = 128,1 MPa, σ2 = −28,1 MPa, σ3 = 0
Tresca
σmax − σmin = 156,2 MPa
n = 275/156,2 = 1,761
Jawaban
n = 1,761
n > 1 berarti titik tersebut tidak luluh; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.
7.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: ε = 5053 µε
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
Tegangan
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 40·1000/113,1 = 353,7 MPa
Regangan (hukum Hooke)
E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 353,7/70000 = 0,005053 = 5053 µε
Jawaban
ε = 5053 µε
8.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: σmax = 353,7 MPa
Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.
Gaya sama di kedua segmen
Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 81,49 MPa
σ2 = 353,7 MPa
Tegangan terbesar
Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.
σmax = 353,7 MPa
Jawaban
σmax = 353,7 MPa
9.Tekuk kolom
Jawaban: Pcr = 6,867 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Panjang efektif
KL = 0,5·4000 = 2000 mm
Beban kritis
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN
Jawaban
Pcr = 6,867 kN
10.Tekuk kolom
Jawaban: d = 56,54 mm
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Beban kritis yang diperlukan
Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,54 mm
Jawaban
d = 56,54 mm
Periksa: kelangsingan KL/r adalah 212,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.
11.Getaran mekanis
Jawaban: ζ = 0,2021
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Redaman kritis
cc = 2·√(k·m) = 2·√(2000·15) = 346,4 N·s/m
Rasio redaman
ζ = c/cc = 70/346,4 = 0,2021
Jawaban
ζ = 0,2021
ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.
12.Getaran mekanis
Jawaban: keq = 70 kN/m
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.
keq = 60 + 10 = 70 kN/m
Jawaban
keq = 70 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design