Roda gigi & rangkaian roda gigi
- Roda gigi yang berpasangan
- n1·N1 = n2·N2
- Torsi
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- Daya
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- Rangkaian roda gigi majemuk
- rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat
Perancangan Elemen Mesin: paket kilat
Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.
1Rumus dan metode
Torsi poros
- Tegangan geser
- τ = T·r/J
- Poros pejal
- J = πd⁴/32
- Poros berongga
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Sudut puntir
- φ = TL/(GJ)
- Daya
- P = T·ω = 2πnT/60
Metode
- Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
- Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
- Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
- Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.
Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
- Pusat
- C = (σx + σy)/2
- Jari-jari
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tegangan utama
- σ1,2 = C ± R
- Arah utama
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Bidang miring
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Metode
- Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
- Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Tegangan & regangan aksial
- Tegangan normal
- σ = F/A
- Regangan
- ε = ΔL/L
- Hukum Hooke
- σ = E·ε
- Pertambahan panjang
- ΔL = FL/(EA)
- Regangan termal
- εT = α·ΔT
Tekuk kolom
- Beban Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Faktor panjang efektif
- K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
- Tegangan kritis
- σcr = Pcr/A
- Kelangsingan
- λ = KL/r, r = √(I/A)
Getaran mekanis
- Frekuensi alami
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- Dari defleksi statis
- ωn = √(g/δst)
- Redaman kritis
- cc = 2√(km) = 2mωn
- Rasio redaman
- ζ = c/cc
- Frekuensi teredam
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- Dekremen logaritmik
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- Pegas paralel
- k = k1 + k2
- Pegas seri
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2Soal latihan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
Sebuah motor 2,2 kW yang berputar pada 1500 rpm menggerakkan pinion dengan 12 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 20 gigi. Abaikan rugi-rugi. Cari torsi T1 pada poros motor.
P = 2,2 kWn1 = 1500 rpmN1 = 12N2 = 20η = 100%
T1 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli 120 mm dan puli 400 mm yang jarak sumbunya 800 mm. Cari sudut kontak θ pada puli yang lebih kecil, dalam derajat.
d1 = 120 mmd2 = 400 mmC = 800 mm
θ = °
3.Torsi porosSedang
Poros baja berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 30 mm, panjang 3 m) dijepit di satu ujung dan dipuntir oleh torsi 1500 N·m di ujung lainnya. Cari sudut puntir φ dalam derajat.
T = 1500 N·mdo = 40 mmdi = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsi porosSulit
Poros pejal harus meneruskan 30 kW pada 3000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 60 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.
P = 30 kWN = 3000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
Suatu titik memiliki σₓ = −40 MPa, σᵧ = 10 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Elemen diputar 20° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σy′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.
σx = −40 MPaσy = 10 MPaτxy = −20 MPaθ = 20°
σy′ = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
Suatu titik pada pelat tipis berada dalam tegangan bidang: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). Cari tegangan ekuivalen von Mises σvM.
σx = 50 MPaσy = 30 MPaτxy = −20 MPa
σvM = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.
P = 20 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.Tegangan & regangan aksialSulit
Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σmax pada batang.
P = 35 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, baja (E = 200 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, tembaga (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.Tekuk kolomSedang
Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.
L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Kolom harus menahan 65 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.
P = 65 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (baja)
d = mm
11.Getaran mekanisSedang
Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 40 mm diikuti 3 siklus kemudian oleh puncak 15,6 mm. Cari rasio redaman ζ.
x0 = 40 mmx3 = 15,6 mmn = 3
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 30 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.
m = 25 kgk1 = 80 kN/mk2 = 30 kN/m
fn = Hz
3Larutan
1.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: T1 = 14,01 N·m
Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.
Torsi motor
ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 2200/157,1 = 14,01 N·m
Jawaban
T1 = 14,01 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi
Jawaban: θ = 159,8 °
Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = eμθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.
Sudut sabuk
asin(0,175) = 10,08°
Sudut kontak
θ = 180 − 2·10,08 = 159,8°
Jawaban
θ = 159,8°
3.Torsi poros
Jawaban: φ = 18,76 °
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Momen inersia polar
J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴
Sudut puntir
T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
L = 3 m = 3000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·3000/(80000·171806) = 0,3274 rad
φ = 0,3274·180/π = 18,76°
Jawaban
φ = 18,76°
4.Torsi poros
Jawaban: d = 20,09 mm
Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.
Torsi
ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m
Diameter dari tegangan izin
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm
Jawaban
d = 20,09 mm
Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.
5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: σy′ = 17,01 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.
Persamaan transformasi untuk muka y′
σy′ = −15 − (−25)·0,766 − (−20)·0,6428 = 17,01 MPa
Periksa
Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.
σx′ = −47,01 MPa, σx′ + σy′ = −30 = σx + σy
Jawaban
σy′ = 17,01 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan
Jawaban: σvM = 55,68 MPa
Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R. Kriteria luluh: von Mises memprediksi luluh ketika σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σY; Tresca ketika tegangan geser maksimum absolut mencapai σY/2.
Tegangan utama
C = 40 MPa, R = 22,36 MPa
σ1 = 62,36 MPa, σ2 = 17,64 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(62,36² − 62,36·17,64 + 17,64²) = 55,68 MPa
Jawaban
σvM = 55,68 MPa
7.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: δ = 0,3537 mm
Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).
Tegangan
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706,9 = 28,29 MPa
Regangan (hukum Hooke)
E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 28,29/200000 = 0,0001415 = 141,5 µε
Pertambahan panjang
δ = ε·L = 0,0001415·2500 mm = 0,3537 mm
Jawaban
δ = 0,3537 mm
8.Tegangan & regangan aksial
Jawaban: σmax = 174,1 MPa
Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.
Gaya sama di kedua segmen
Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 71,3 MPa
σ2 = 174,1 MPa
Tegangan terbesar
Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.
σmax = 174,1 MPa
Jawaban
σmax = 174,1 MPa
9.Tekuk kolom
Jawaban: Pcr = 6,056 kN
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Momen inersia terkecil
Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
Panjang efektif
KL = 2·5000 = 10000 mm
Beban kritis
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/10000² = 6056 N = 6,056 kN
Jawaban
Pcr = 6,056 kN
10.Tekuk kolom
Jawaban: d = 50,89 mm
Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.
Beban kritis yang diperlukan
Pcr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
Selesaikan untuk diameter
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 50,89 mm
Jawaban
d = 50,89 mm
Periksa: kelangsingan KL/r adalah 157,2, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.
11.Getaran mekanis
Jawaban: ζ = 0,04989
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Dekremen logaritmik
δ = (1/3)·ln(40/15,6) = 0,3139
Rasio redaman
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3139/√(39,48 + 0,09851) = 0,04989
Jawaban
ζ = 0,04989
12.Getaran mekanis
Jawaban: fn = 10,56 Hz
Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Kekakuan ekivalen
Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.
keq = 80 + 30 = 110 kN/m
Frekuensi alami
ωn = √(110000/25) = 66,33 rad/s
fn = 66,33/(2π) = 10,56 Hz
Jawaban
fn = 10,56 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design