Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 125 mm pada 720 rpm menggerakkan puli 500 mm dengan sabuk yang slipnya 1 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 720 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 500 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (40 gigi) pada poros masukan berputar pada 1440 rpm dan menggerakkan roda gigi B (45 gigi). Roda gigi C (15 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D pada poros keluaran. Keluaran harus berputar pada 1200 rpm. Berapa jumlah gigi N_D yang harus dimiliki roda gigi D?

n_in = 1440 rpmA = 40B = 45C = 15n_out = 1200 rpm

N_D =

3.Torsi porosSedang

Poros pejal baja dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 500 N·m bekerja di B, 1 m dari A, dan torsi 1000 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 1,2 m lebih jauh. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 1000 N·mAB = 1 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = 0 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Tangki silinder berdinding tipis dengan diameter dalam 600 mm dan tebal dinding 12 mm berisi gas bertekanan gauge 1,5 MPa. Tangki dibuat dari pelat yang dilas sepanjang kampuh heliks bersudut 55° terhadap sumbu silinder. Cari tegangan normal σ_n yang bekerja tegak lurus kampuh las.

D = 600 mmt = 12 mmp = 1,5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 500 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 20 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 40 kN dengan faktor keamanan 2,5 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 40 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 2 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 15 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 170 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 2 kgk = 15 kN/mc = 170 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada pegas k₃ = 25 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 10 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 178,2 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

720·125/500 = 180 rpm

Dengan slip

n₂ = 180·0,99 = 178,2 rpm

Jawaban

n₂ = 178,2 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N_D = 16

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan poros antara

n_B = n_C = 1440·40/45 = 1280 rpm

Jumlah gigi roda gigi D

N_D = C·n_C/n_out = 15·1280/1200 = 16

Jawaban

N_D = 16

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 1,081 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·79522) = 0,01886 rad

φ = 0,01886·180/π = 1,081°

Jawaban

φ = 1,081°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 61,12 MPa

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 500 = 1500 N·m

Tegangan geser maksimum

Segmen dengan torsi dalam terbesar memiliki tegangan terbesar (diameter sama).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·50³) = 61,12 MPa

Jawaban

τ_max = 61,12 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 44,72 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((40 − 0)/2)² + 40²) = 44,72 MPa

Jawaban

τ_max = 44,72 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_n = 24,92 MPa

Tegangan dinding

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 1,5·300/12 = 37,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 18,75 MPa

Transformasikan ke kampuh

Ambil x sepanjang sumbu (σ_a) dan y mengelilingi keliling (σ_h). Normal kampuh membentuk 90° − α dengan sumbu.

σ_n = 18,75·sin²55° + 37,5·cos²55° = 24,92 MPa

Jawaban

σ_n = 24,92 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 62,67 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1,608 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/6,382 × 10⁻⁶ = 62674 N = 62,67 kN

Jawaban

P = 62,67 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 9,03 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 20000·981748/1,107 × 10⁶ = 17730 N

Tegangan

σ₂ = 17730/1963 = 9,03 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 9,03 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 20,47 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/1500² = 20470 N = 20,47 kN

Jawaban

P_cr = 20,47 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 60,05 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 60,05 mm

Jawaban

d = 60,05 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 139,9, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,4907

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(15000·2) = 346,4 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 170/346,4 = 0,4907

Jawaban

ζ = 0,4907

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 9,455 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 10 + 50 = 60 kN/m

k_eq = 60·25/(60 + 25) = 17,65 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(17647/5) = 59,41 rad/s

f_n = 59,41/(2π) = 9,455 Hz

Jawaban

f_n = 9,455 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design