Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Puli 125 mm pada 1500 rpm menggerakkan puli 400 mm dengan sabuk yang slipnya 3 %. Cari kecepatan n₂ puli yang digerakkan.

n₁ = 1500 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 400 mms = 3 %

n₂ = rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 125 mm pada 1450 rpm ke puli 315 mm; jarak sumbunya 1000 mm. Koefisien gesekan adalah 0,3 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 1500 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 125 mmn₁ = 1450 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros pejal kuningan dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 1000 N·m bekerja di B, 0,5 m dari A, dan torsi 1500 N·m dengan arah yang sama bekerja di ujung bebas C, 1 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,5 mBC = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_p dari sumbu x ke arah tegangan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = −10 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 35° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari regangan aksial ε pada batang kuningan, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 250 MPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 80 mm, diameter dalam 50 mm, E = 120 GPa, tegangan izin 50 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatabung: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminium)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 25 mm diikuti 3 siklus kemudian oleh puncak 3,8 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 25 mmx₃ = 3,8 mmn = 3

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 5 kg tergantung pada dua pegas yang disambung ujung ke ujung (seri): pegas atas memiliki k₁ = 50 kN/m dan pegas bawah k₂ = 12 kN/m. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 5 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n₂ = 454,7 rpm

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan tanpa slip

1500·125/400 = 468,8 rpm

Dengan slip

n₂ = 468,8·0,97 = 454,7 rpm

Jawaban

n₂ = 454,7 rpm

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 8,363 kW

Sudut kontak

θ = 2,951 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,8854 = 2,424, T₂ = 1500/2,424 = 618,8 N

Daya

P = (1500 − 618,8)·9,49 = 8,363 kW

Jawaban

P = 8,363 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 14,03 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(39000·15708) = 0,2449 rad

φ = 0,2449·180/π = 14,03°

Jawaban

φ = 14,03°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 16,07 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 1000 = 2500 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 2,5 × 10⁶·500/(39000·251327) = 0,1275 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·1000/(39000·251327) = 0,153 rad

Puntiran ujung C

φ_C = 0,1275 + 0,153 = 0,2806 rad → |φ_C| = 16,07°

Jawaban

φ_C = 16,07°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_p = 26,57 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Titik x terletak pada sudut 2θp dari sumbu σ pada lingkaran Mohr; kuadrannya ditentukan oleh tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, 120 − 30) = 53,13°

Sudut pada elemen

θ_p = 26,57°

Jawaban

θ_p = 26,57°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 58,09 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 35 + 95·0,342 + −10·0,9397 = 58,09 MPa

Jawaban

σ_θ = 58,09 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 7074 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/113,1 = 707,4 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 707,4/100000 = 0,007074 = 7074 µε

Jawaban

ε = 7074 µε

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 257,9 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6,189 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,00125, 0,0004167) = 0,0004167 (tembaga)

Beban terbesar

P_max = 0,0004167·6,189 × 10⁸ = 257872 N = 257,9 kN

Jawaban

P_max = 257,9 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 27,63 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1000² = 27635 N = 27,63 kN

Jawaban

P_cr = 27,63 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 69,09 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Jawaban

σ_cr = 69,09 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,09945

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/3)·ln(25/3,8) = 0,628

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,628/√(39,48 + 0,3943) = 0,09945

Jawaban

ζ = 0,09945

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 9,677 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas seri menerima gaya yang sama dan defleksinya dijumlahkan, sehingga digabung sebagai kebalikan: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/12 → k_eq = 50·12/(50 + 12) = 9,677 kN/m

Jawaban

k_eq = 9,677 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design