Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 80 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 2,5 mm dan reduksi kecepatan 3 : 1. Berapa jumlah gigi N₁ yang harus dimiliki pinion?

a = 80 mmm = 2,5 mmi = 3

N₁ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (15 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan roda gigi B (40 gigi). Roda gigi C (20 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (80 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 2900 rpmA = 15B = 40C = 20D = 80

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros berongga harus menahan torsi 1000 N·m. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 75 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal meneruskan 5 kW pada 1500 rpm. Tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa dan puntiran tidak boleh melebihi 0,5° per m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua batas.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 100 MPa, σᵧ = 80 MPa, dan τₓᵧ = −20 MPa (tarik positif). Elemen diputar 35° berlawanan arah jarum jam. Cari tegangan normal σ_y′ pada muka elemen yang diputar yang tegak lurus sumbu y′ yang diputar.

σ_x = 100 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 25 mm menahan gaya tekan aksial sebesar 30 kN bersama torsi 500 N·m. Di permukaan poros, cari tegangan utama terbesar σ₁.

d = 25 mmF = −30 kNT = 500 N·m

σ₁ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang baja (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tabung dari tembaga (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 120 GPa). Keduanya panjangnya 400 mm dan ditekan bersama di antara pelat kaku oleh 50 kN. Cari pemendekan δ.

P = 50 kNbatang: Ø40 mm, E = 200 GPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 70 kNsegmen 1: Ø25 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 30 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 8,5 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 30 mmx₅ = 8,5 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada pegas k₃ = 15 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 10 kN/m dan k₂ = 50 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₁ = 16

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·80/2,5 = 64

Bagi menurut rasio

N₁ = 64/(1 + 3) = 16

Jawaban

N₁ = 16

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 271,9 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 2900·15/40 = 1088 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 1088·20/80 = 271,9 rpm

Jawaban

n_out = 271,9 rpm

rasio total = 10,67 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: d_o = 44,71 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Diameter luar dari tegangan izin

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·75·0,7599)) = 44,71 mm

d_i = 0,7·44,71 = 31,3 mm

Jawaban

d_o = 44,71 mm

Poros pejal memerlukan d = 40,8 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 31,24 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diameter berdasarkan kekuatan

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·50)) = 14,8 mm

Diameter berdasarkan kekakuan

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 31,24 mm

Diameter yang menentukan

Kedua batas harus terpenuhi, jadi diameter yang lebih besar yang menentukan.

d = max(14,8, 31,24) = 31,24 mm

Jawaban

d = 31,24 mm

Di sini kekakuan yang menentukan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_y′ = 105,4 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Persamaan transformasi untuk muka y′

σ_y′ = 90 − 10·0,342 − (−20)·0,9397 = 105,4 MPa

Periksa

Jumlah tegangan normal tidak berubah karena rotasi.

σ_x′ = 74,63 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 180 = σ_x + σ_y

Jawaban

σ_y′ = 105,4 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ₁ = 135,3 MPa

Tegangan di permukaan

σ = F/A = −30000/(π·25²/4) = −30000/490,9 = −61,12 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = −30,56 MPa

R = √((−30,56)² + 163²) = 165,8 MPa

σ₁ = C + R = 135,3 MPa

σ₂ = C − R = −196,4 MPa

Jawaban

σ₁ = 135,3 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,02341 mm

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 50000·400/8,545 × 10⁸ = 0,02341 mm

Jawaban

δ = 0,02341 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 618,9 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 618,9 MPa

Jawaban

σ_max = 618,9 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 4,828 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2800² = 4828 N = 4,828 kN

Jawaban

P_cr = 4,828 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 16,11 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/10 = 350

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Jawaban

σ_cr = 16,11 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,04011

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(30/8,5) = 0,2522

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2522/√(39,48 + 0,06362) = 0,04011

Jawaban

ζ = 0,04011

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,513 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 10 + 50 = 60 kN/m

k_eq = 60·15/(60 + 15) = 12 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(12000/10) = 34,64 rad/s

f_n = 34,64/(2π) = 5,513 Hz

Jawaban

f_n = 5,513 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design