Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 1,1 kW yang berputar pada 2900 rpm menggerakkan pinion dengan 16 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 20 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 98%. Cari torsi keluaran T₂ pada poros roda gigi.

P = 1,1 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 16N₂ = 20η = 98%

T₂ = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 125 mm pada 2880 rpm ke puli 500 mm; jarak sumbunya 1000 mm. Koefisien gesekan adalah 0,35 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 800 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 500 mmC = 1000 mmμ = 0,35T₁ = 800 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 2 m; segmen BC berdiameter 60 mm dan panjang 1,2 m. Torsi 1000 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 1000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2 md₂ = 60 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga meneruskan 30 kW pada 1000 rpm. Cari tegangan geser maksimum τ_max pada poros.

P = 30 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 30 MPa dan σᵧ = 10 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 50 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 50 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Poros pejal berdiameter 60 mm menahan momen lentur sebesar 300 N·m bersama torsi 1500 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan geser sebidang maksimum τ_max.

d = 60 mmM = 300 N·mT = 1500 N·m

τ_max = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 20 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari perunggu (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 110 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,3 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: perunggu, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari pertambahan panjang total δ.

P = 75 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, tembaga (E = 117 GPa)segmen 2: Ø12 mm, 0,5 m, tembaga (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 50 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 12 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 4,4 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 12 mmx₂ = 4,4 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 50 kg tergantung pada pegas k₃ = 10 kN/m. Ujung atas k₃ terpasang pada batang kaku yang tergantung pada dua pegas berdampingan, k₁ = 30 kN/m dan k₂ = 25 kN/m; batang tetap datar. Abaikan redaman serta massa pegas dan batang. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 50 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T₂ = 4,437 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/303,7 = 3,622 N·m

Torsi keluaran

T₂ = 3,622·20/16·0,98 = 4,437 N·m

Jawaban

T₂ = 4,437 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 9,349 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,764 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,9675 = 2,631, T₂ = 800/2,631 = 304 N

Daya

P = (800 − 304)·18,85 = 9,349 kW

Jawaban

P = 9,349 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 3,497 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2000/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,02476 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1200/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03627 rad

Puntiran total

φ_C = 0,02476 + 0,03627 = 0,06104 rad = 3,497°

Jawaban

φ_C = 3,497°

4.Torsi poros

Jawaban: τ_max = 26,19 MPa

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Momen inersia polar

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tegangan geser maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·20/218755 = 26,19 MPa

Jawaban

τ_max = 26,19 MPa

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 28,28 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (30 + 10)/2 = 20 MPa

R = σ₁ − C = 50 − 20 = 30 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(30² − 10²) = 28,28 MPa

Jawaban

τ_xy = 28,28 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 36,07 MPa

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·60³) = 14,15 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35,37 MPa

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 7,074 MPa

R = √(7,074² + 35,37²) = 36,07 MPa

Jawaban

τ_max = 36,07 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 47,01 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1,608 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,3/6,382 × 10⁻⁶ = 47005 N = 47,01 kN

Jawaban

P = 47,01 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,5 mm

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Jumlahkan pertambahan panjang segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,95·1000/117000 = 0,6663 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 663,1·500/117000 = 2,834 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,5 mm

Jawaban

δ = 3,5 mm

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 62,01 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/8000² = 62013 N = 62,01 kN

Jawaban

P_cr = 62,01 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 59,63 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 59,63 mm

Jawaban

d = 59,63 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 234,8, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,07959

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(12/4,4) = 0,5017

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5017/√(39,48 + 0,2517) = 0,07959

Jawaban

ζ = 0,07959

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 2,07 Hz

Kekakuan ekivalen

Hanya k₁ dan k₂ yang paralel. Pasangan itu seri dengan k₃, jadi gabungkan sebagai kebalikan.

k₁₂ = 30 + 25 = 55 kN/m

k_eq = 55·10/(55 + 10) = 8,462 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(8462/50) = 13,01 rad/s

f_n = 13,01/(2π) = 2,07 Hz

Jawaban

f_n = 2,07 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design