Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Dua poros sejajar berjarak 33,75 mm. Keduanya harus dihubungkan dengan sepasang roda gigi lurus bermodul 1,5 mm dan reduksi kecepatan 2 : 1. Berapa jumlah gigi N₂ yang harus dimiliki roda gigi?

a = 33,75 mmm = 1,5 mmi = 2

N₂ =

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 120 mm pada 720 rpm ke puli 450 mm; jarak sumbunya 600 mm. Koefisien gesekan adalah 0,3 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 600 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 450 mmC = 600 mmμ = 0,3T₁ = 600 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros kuningan pejal sepanjang 3 m menahan torsi 500 N·m. Sudut puntir antara kedua ujungnya tidak boleh melebihi 1,5°. Cari diameter terkecil d yang memenuhi batas ini.

T = 500 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsi porosSulit

Poros pejal harus meneruskan 50 kW pada 1450 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 90 MPa, σᵧ = 100 MPa, dan τₓᵧ = −30 MPa (tarik positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dan 90°, dari sumbu x ke normal bidang tempat tegangan geser mencapai nilai positif maksimumnya +R (geser positif searah dengan τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = −60 MPa, dan τₓᵧ = 10 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser τ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° searah jarum jam dari sumbu x (positif dengan arah yang sama seperti τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang baja akibat beban aksial.

P = 90 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 70 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatabung: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Kolom harus menahan 50 kN dengan faktor keamanan 2 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 50 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 10 mm diikuti 2 siklus kemudian oleh puncak 2,8 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₂ = 2,8 mmn = 2

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 100 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 60 kN/m dan k₂ = 50 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: N₂ = 30

Geometri roda gigi: modul m menentukan ukuran gigi. Roda gigi dengan N gigi memiliki diameter jarak bagi d = m·N, dua roda gigi yang berpasangan memiliki modul yang sama, dan jarak sumbunya a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Kecepatan garis jarak bagi v = π·d·n/60, dan gaya tangensial gigi diperoleh dari torsi: F_t = 2T/d.

Jumlah gigi total

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·33,75/1,5 = 45

Bagi menurut rasio

N₁ = 45/(1 + 2) = 15

N₂ = 2·15 = 30

Jawaban

N₂ = 30

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 1,464 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Sudut kontak

θ = 2,584 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,7753 = 2,171, T₂ = 600/2,171 = 276,3 N

Daya

P = (600 − 276,3)·4,524 = 1,464 kW

Jawaban

P = 1,464 kW

3.Torsi poros

Jawaban: d = 62,2 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar yang diperlukan

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 500000·3000/(39000·0,02618) = 1,469 × 10⁶ mm⁴

Diameter

d = (32J/π)^1/4 = 62,2 mm

Jawaban

d = 62,2 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 28,17 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·329286/(π·75)) = 28,17 mm

Jawaban

d = 28,17 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: θ_s = 85,27 °

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Sudut pada lingkaran

Pada lingkaran Mohr titik puncak (+R) berjarak 90° dari titik utama σ₁; pada elemen itu sama dengan 45°.

cos 2θ_s = −30/30,41 = −0,9864, sin 2θ_s = −(−5)/30,41 = 0,1644

2θ_s = atan2(5, −30) = 170,5°

Sudut pada elemen

θ_s = 85,27°

periksa: θ_s − θ_p = 85,27 − (−49,73) = 135°

Jawaban

θ_s = 85,27°

Sudut positif berlawanan arah jarum jam.

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_θ = 95 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −95·−1 + 10·0 = 95 MPa

Jawaban

τ_θ = 95 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 0,6366 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/706,9 = 127,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,0006366·1000 mm = 0,6366 mm

Jawaban

δ = 0,6366 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 414,7 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5027 = 4,147 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,001) = 0,001 (aluminium)

Beban terbesar

P_max = 0,001·4,147 × 10⁸ = 414690 N = 414,7 kN

Jawaban

P_max = 414,7 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 77,11 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/4000² = 77106 N = 77,11 kN

Jawaban

P_cr = 77,11 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 39,04 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 39,04 mm

Jawaban

d = 39,04 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 153,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1008

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/2)·ln(10/2,8) = 0,6365

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6365/√(39,48 + 0,4051) = 0,1008

Jawaban

ζ = 0,1008

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 5,279 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 50 = 110 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(110000/100) = 33,17 rad/s

f_n = 33,17/(2π) = 5,279 Hz

Jawaban

f_n = 5,279 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design