Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 200 mm pada 1450 rpm. Tegangannya 600 N pada sisi tarik dan 180 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 600 NT₂ = 180 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Sebuah sabuk terbuka menghubungkan puli penggerak 120 mm pada 720 rpm ke puli 400 mm; jarak sumbunya 1200 mm. Koefisien gesekan adalah 0,3 dan tegangan sisi tarik tidak boleh melebihi 1500 N. Cari daya terbesar P yang dapat ditransmisikan sabuk tanpa slip, dalam kW (abaikan efek sentrifugal).

d₁ = 120 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 1500 N

P = kW

3.Torsi porosSedang

Poros aluminium pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 1 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 1,2 m. Torsi 250 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 250 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros kuningan pejal berdiameter 50 mm dijepit di A. Torsi 500 N·m bekerja di B, 1 m dari A, dan torsi 400 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,5 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 50 mmT_B = 500 N·mT_C = 400 N·mAB = 1 mBC = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Suatu titik memiliki σₓ = 110 MPa dan σᵧ = −10 MPa. Seberapa besar tegangan geser τ_xy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 150 MPa?

σ_x = 110 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 150 MPa

τ_xy = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 10 MPa, σᵧ = 20 MPa, dan τₓᵧ = 20 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 45° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang aluminium akibat beban aksial.

P = 30 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Batang bertingkat dijepit di dinding dan dibebani di ujung bebasnya. Cari tegangan normal terbesar σ_max pada batang.

P = 100 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1,5 m, kuningan (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan jepit di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Kolom harus menahan 135 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 135 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 30 mm diikuti satu siklus kemudian oleh puncak 20,6 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 30 mmx₁ = 20,6 mmn = 1

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 25 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 15 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 25 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 6,377 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 15,18 m/s

Daya

P = (600 − 180)·15,18 = 6377 W = 6,377 kW

Jawaban

P = 6,377 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 3,949 kW

Sudut kontak

θ = 2,908 rad

Tegangan sisi kendor

e^μθ = e^0,8723 = 2,392, T₂ = 1500/2,392 = 627 N

Daya

P = (1500 − 627)·4,524 = 3,949 kW

Jawaban

P = 3,949 kW

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 8,491 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·1000/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,003095 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·79522) = 0,1451 rad

Puntiran total

φ_C = 0,003095 + 0,1451 = 0,1482 rad = 8,491°

Jawaban

φ_C = 8,491°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 1,197 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 500 = −100 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −100000·1000/(39000·613592) = −0,004179 rad

φ_BC = 400000·1500/(39000·613592) = 0,02507 rad

Puntiran ujung C

φ_C = −0,004179 + 0,02507 = 0,02089 rad → |φ_C| = 1,197°

Jawaban

φ_C = 1,197°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_xy = 80 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (110 + (−10))/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 150 − 50 = 100 MPa

Tegangan geser

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 60²) = 80 MPa

Jawaban

τ_xy = 80 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 35 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 15 + −5·0 + 20·1 = 35 MPa

Jawaban

σ_θ = 35 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 4,263 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/70000 = 0,002132 = 2132 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,002132·2000 mm = 4,263 mm

Jawaban

δ = 4,263 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ_max = 497,4 MPa

Batang beban aksial: setiap segmen prismatis mengikuti δ = PL/(AE). Untuk segmen seri, pertambahan panjangnya dijumlahkan.

Gaya sama di kedua segmen

Ujung bebas menahan P, jadi setiap penampang batang menahan gaya aksial P yang sama. Hanya luas dan bahannya yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 141,5 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Tegangan terbesar

Segmen yang lebih tipis luasnya lebih kecil, jadi tegangannya lebih besar.

σ_max = 497,4 MPa

Jawaban

σ_max = 497,4 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 195,3 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang efektif

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Jawaban

P_cr = 195,3 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 83,14 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·135000 = 405000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·405000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 83,14 mm

Jawaban

d = 83,14 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 96,23, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,05972

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/1)·ln(30/20,6) = 0,3759

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3759/√(39,48 + 0,1413) = 0,05972

Jawaban

ζ = 0,05972

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 9,811 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 15 = 95 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(95000/25) = 61,64 rad/s

f_n = 61,64/(2π) = 9,811 Hz

Jawaban

f_n = 9,811 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design