Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah sabuk berjalan pada puli penggerak 160 mm pada 2880 rpm. Tegangannya 500 N pada sisi tarik dan 200 N pada sisi kendor. Cari daya P yang ditransmisikan, dalam kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 500 NT₂ = 200 N

P = kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam set roda gigi planet, roda gigi matahari memiliki 12 gigi dan setiap roda gigi planet 15 gigi. Roda gigi cincin ditahan diam dan matahari digerakkan pada 1800 rpm. Cari kecepatan n_c pembawa planet.

N_s = 12N_p = 15n_s = 1800 rpm

n_c = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros pejal aluminium dijepit di dinding dan dipuntir oleh torsi T di ujung bebasnya. Cari sudut puntir φ ujung bebas, dalam derajat.

T = 100 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsi porosSulit

Poros berongga harus meneruskan 75 kW pada 1500 rpm. Diameter dalamnya ditetapkan 0,7 kali diameter luarnya, dan tegangan geser tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 40 MPa, σᵧ = −10 MPa, dan τₓᵧ = 50 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −50 MPa, σᵧ = 50 MPa, dan τₓᵧ = −60 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 15° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Cari pertambahan panjang δ batang kuningan akibat beban aksial.

P = 85 kNd = 30 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah segmen baja (diameter 20 mm, panjang 600 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari kuningan (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 80 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ₂ pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuningan, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σ_cr dari rumus Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (baja)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Getaran mekanisSedang

Dalam uji getaran bebas sistem massa–pegas teredam, puncak simpangan 10 mm diikuti 5 siklus kemudian oleh puncak 2,1 mm. Cari rasio redaman ζ.

x₀ = 10 mmx₅ = 2,1 mmn = 5

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 5 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami f_n getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: P = 7,238 kW

Penggerak sabuk: tanpa slip, kedua puli memiliki kecepatan tepi yang sama v = π·d·n/60, sehingga n₁·d₁ = n₂·d₂ dan rasio kecepatan adalah d₂/d₁. Slip s membuat puli yang digerakkan sedikit lebih lambat: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Daya yang ditransmisikan adalah P = (T₁ − T₂)·v, dengan T₁ tegangan sisi tarik dan T₂ sisi kendor. Gesekan membatasi rasio tegangan: T₁/T₂ = e^μθ, dengan θ sudut kontak dalam radian pada puli yang lebih kecil; untuk sabuk terbuka θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) dengan jarak sumbu C.

Kecepatan sabuk

v = 24,13 m/s

Daya

P = (500 − 200)·24,13 = 7238 W = 7,238 kW

Jawaban

P = 7,238 kW

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_c = 400 rpm

Set roda gigi planet: kecepatan matahari, cincin, dan pembawa dihubungkan oleh persamaan Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: dilihat dari pembawa, set ini adalah rangkaian roda gigi biasa dengan planet sebagai roda perantara. Menahan satu anggota diam mengubah set menjadi reduktor dengan satu rasio.

Jumlah gigi roda gigi cincin

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·15 = 42

Persamaan Willis dengan cincin diam

Ambil n_r = 0 dan selesaikan untuk kecepatan pembawa.

(1800 − n_c)/(0 − n_c) = −42/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1800·12/54 = 400 rpm

Jawaban

n_c = 400 rpm

Pembawa berputar searah dengan matahari.

3.Torsi poros

Jawaban: φ = 5,542 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut puntir

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

Jawaban

φ = 5,542°

4.Torsi poros

Jawaban: d_o = 40 mm

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Diameter luar dari tegangan izin

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·50·0,7599)) = 40 mm

d_i = 0,7·40 = 28 mm

Jawaban

d_o = 40 mm

Poros pejal memerlukan d = 36,5 mm; poros berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 55,9 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((40 − −10)/2)² + 50²) = 55,9 MPa

Jawaban

τ_max = 55,9 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = −73,3 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 0 + −50·0,866 + −60·0,5 = −73,3 MPa

Jawaban

σ_θ = −73,3 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: δ = 3,608 mm

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for kuningan = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/100000 = 0,001203 = 1203 µε

Pertambahan panjang

δ = ε·L = 0,001203·3000 mm = 3,608 mm

Jawaban

δ = 3,608 mm

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ₂ = 47,75 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

Bagian segmen 2

F₂ = 80000·314159/418879 = 60000 N

Tegangan

σ₂ = 60000/1257 = 47,75 MPa (tekan)

Jawaban

σ₂ = 47,75 MPa

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 19,62 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2000² = 19621 N = 19,62 kN

Jawaban

P_cr = 19,62 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: σ_cr = 157,4 MPa

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6,25 = 112

Tegangan kritis

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/112² = 157,4 MPa

Jawaban

σ_cr = 157,4 MPa

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,04962

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Dekremen logaritmik

δ = (1/5)·ln(10/2,1) = 0,3121

Rasio redaman

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3121/√(39,48 + 0,09742) = 0,04962

Jawaban

ζ = 0,04962

12.Getaran mekanis

Jawaban: f_n = 14,67 Hz

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 5 = 85 kN/m

Frekuensi alami

ω_n = √(85000/10) = 92,2 rad/s

f_n = 92,2/(2π) = 14,67 Hz

Jawaban

f_n = 14,67 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design