Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baru Kembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan: n₁·N₁ = n₂·N₂
Torsi: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Daya: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk: rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser: τ = T·r/J
Poros pejal: J = πd⁴/32
Poros berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir: φ = TL/(GJ)
Daya: P = T·ω = 2πnT/60

Metode

Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jari-jari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegangan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Bidang miring: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metode

Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal: σ = F/A
Regangan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pertambahan panjang: ΔL = FL/(EA)
Regangan termal: ε_T = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif: K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dari defleksi statis: ω_n = √(g/δ_st)
Redaman kritis: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Rasio redaman: ζ = c/c_c
Frekuensi teredam: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel: k = k₁ + k₂
Pegas seri: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang

Sebuah motor 3 kW pada 1440 rpm menggerakkan cacing dengan 4 ulir. Roda cacing memiliki 30 gigi dan efisiensi penggeraknya 60%. Cari torsi keluaran T_w pada poros roda cacing.

z = 4N_w = 30n = 1440 rpmP = 3 kWη = 60%

T_w = N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (16 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan roda gigi B (72 gigi). Roda gigi C (25 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (40 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran n_out.

n_in = 1450 rpmA = 16B = 72C = 25D = 40

n_out = rpm

3.Torsi porosSedang

Poros baja pejal bertingkat dijepit di A. Segmen AB berdiameter 50 mm dan panjang 1,2 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 2,5 m. Torsi 750 N·m bekerja di ujung bebas C. Cari sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

T = 750 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 30 mm, L₂ = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsi porosSulit

Poros aluminium pejal berdiameter 40 mm dijepit di A. Torsi 2000 N·m bekerja di B, 1,2 m dari A, dan torsi 500 N·m dengan arah berlawanan bekerja di ujung bebas C, 1,2 m lebih jauh. Cari besar sudut puntir φ_C ujung C, dalam derajat.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,2 mBC = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = −70 MPa, σᵧ = 40 MPa, dan τₓᵧ = 60 MPa (tarik positif). Cari tegangan geser maksimum dalam bidang τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit

Sebuah titik pada komponen yang dibebani memiliki σₓ = 130 MPa, σᵧ = −20 MPa, dan τₓᵧ = 40 MPa (tarik positif). Cari tegangan normal σ_θ pada bidang yang normalnya diputar 35° berlawanan arah jarum jam dari sumbu x.

σ_x = 130 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Tegangan & regangan aksialSedang

Sebuah batang terdiri dari segmen baja (diameter 25 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang disambung ujung ke ujung dengan segmen dari aluminium (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa). Salah satu ujungnya dijepit dan ujung lainnya ditarik. Cari beban aksial P yang memanjangkannya sebesar 0,4 mm secara total.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

8.Tegangan & regangan aksialSulit

Sebuah batang baja (diameter 30 mm, E = 200 GPa, tegangan izin 200 MPa) berada di dalam tabung dari aluminium (diameter luar 120 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa, tegangan izin 100 MPa). Keduanya ditekan bersama di antara pelat kaku. Cari beban terbesar P_max.

batang: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatabung: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.Tekuk kolomSedang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan bebas di atas. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (baja)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Tekuk kolomSulit

Kolom bulat pejal sepanjang L dari baja dengan tumpuan jepit di bawah dan sendi di atas. Kolom harus menahan 65 kN dengan faktor keamanan 3 terhadap tekuk. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (baja)

d = mm

11.Getaran mekanisSedang

Massa 2 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 100 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 90 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 2 kgk = 100 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

12.Getaran mekanisSulit

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 12 kN/m dan k₂ = 80 kN/m. Massa tetap datar. Cari kekakuan ekivalen k_eq sistem pegas dalam kN/m.

m = 10 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T_w = 89,52 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Kecepatan roda

n_w = n·z/N_w = 1440·4/30 = 192 rpm

Torsi keluaran

ω_w = 2π·192/60 = 20,11 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,6·3000/20,11 = 89,52 N·m

Jawaban

T_w = 89,52 N·m

2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: n_out = 201,4 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

n_B = 1450·16/72 = 322,2 rpm = n_C

Tingkat kedua

n_out = 322,2·25/40 = 201,4 rpm

Jawaban

n_out = 201,4 rpm

rasio total = 7,2 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 17,94 °

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τ_max = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Puntiran tiap segmen

T = 750 N·m = 750000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 750000·1200/(80000·613592) = 0,01833 rad

φ_BC = 750000·2500/(80000·79522) = 0,2947 rad

Puntiran total

φ_C = 0,01833 + 0,2947 = 0,3131 rad = 17,94°

Jawaban

φ_C = 17,94°

4.Torsi poros

Jawaban: φ_C = 10,52 °

Torsi dalam

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 2000 = −1500 N·m

Puntiran tiap segmen

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −1,5 × 10⁶·1200/(26000·251327) = −0,2755 rad

φ_BC = 500000·1200/(26000·251327) = 0,09182 rad

Puntiran ujung C

φ_C = −0,2755 + 0,09182 = −0,1836 rad → |φ_C| = 10,52°

Jawaban

φ_C = 10,52°

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τ_max = 81,39 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari lingkaran Mohr

τ_max = R = √(((−70 − 40)/2)² + 60²) = 81,39 MPa

Jawaban

τ_max = 81,39 MPa

6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: σ_θ = 118,2 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 55 + 75·0,342 + 40·0,9397 = 118,2 MPa

Jawaban

σ_θ = 118,2 MPa

7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P = 46,39 kN

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Luas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4,547 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0,4/8,622 × 10⁻⁶ = 46395 N = 46,39 kN

Jawaban

P = 46,39 kN

8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: P_max = 735,1 kN

Luas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Kekakuan aksial gabungan

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·8482 = 7,351 × 10⁸ N

Regangan penentu

ε = min(0,001, 0,001429) = 0,001 (baja)

Beban terbesar

P_max = 0,001·7,351 × 10⁸ = 735133 N = 735,1 kN

Jawaban

P_max = 735,1 kN

9.Tekuk kolom

Jawaban: P_cr = 9,462 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang efektif

KL = 2·4000 = 8000 mm

Beban kritis

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/8000² = 9462 N = 9,462 kN

Jawaban

P_cr = 9,462 kN

10.Tekuk kolom

Jawaban: d = 63,02 mm

Beban kritis yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·65000 = 195000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 63,02 mm

Jawaban

d = 63,02 mm

Periksa: kelangsingan KL/r adalah 177,7, jadi kolom langsing dan rumus Euler berlaku.

11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,1006

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ω_n = √(k/m) dalam rad/s, dan f_n = ω_n/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/c_c, dengan redaman kritis c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·2) = 894,4 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/c_c = 90/894,4 = 0,1006

Jawaban

ζ = 0,1006

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: k_eq = 92 kN/m

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k₁ + k₂.

k_eq = 12 + 80 = 92 kN/m

Jawaban

k_eq = 92 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design