Perancangan Elemen Mesin: paket kilat

Lembar rumus, langkah-langkah metode utama untuk setiap topik, dan 12 soal latihan, dengan pembahasan lengkap di bagian belakang.

Soal baruKembali ke mata kuliah

Di jendela cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan di perangkat Anda.

1Rumus dan metode

Roda gigi & rangkaian roda gigi

Roda gigi yang berpasangan
n1·N1 = n2·N2
Torsi
T2 = T1·(N2/N1)·η
Daya
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rangkaian roda gigi majemuk
rasio total = hasil kali rasio setiap tingkat

Torsi poros

Tegangan geser
τ = T·r/J
Poros pejal
J = πd⁴/32
Poros berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut puntir
φ = TL/(GJ)
Daya
P = T·ω = 2πnT/60

Metode

  1. Cari momen inersia polar: J = πd⁴/32 untuk poros pejal.
  2. Tegangan geser di permukaan: τ = T·r/J, dengan r jari-jari luar.
  3. Sudut puntir: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika daya diketahui, cari torsi dulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jari-jari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegangan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Bidang miring
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metode

  1. Hitung pusat lingkaran Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Hitung jari-jarinya: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegangan utama adalah C ± R dan tegangan geser bidang terbesar adalah R.
  4. Sudut pada lingkaran adalah dua kali sudut pada elemen: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tegangan & regangan aksial

Tegangan normal
σ = F/A
Regangan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pertambahan panjang
ΔL = FL/(EA)
Regangan termal
εT = α·ΔT

Tekuk kolom

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang efektif
K = 1 sendi–sendi, 0,5 jepit–jepit, 0,7 jepit–sendi, 2 jepit–bebas
Tegangan kritis
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

Getaran mekanis

Frekuensi alami
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dari defleksi statis
ωn = √(g/δst)
Redaman kritis
cc = 2√(km) = 2mωn
Rasio redaman
ζ = c/cc
Frekuensi teredam
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Dekremen logaritmik
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Pegas paralel
k = k1 + k2
Pegas seri
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Soal latihan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigiSedang
N1​ = 36N2​ = 40

Sebuah motor 7,5 kW yang berputar pada 1450 rpm menggerakkan pinion dengan 36 gigi, yang berpasangan dengan roda gigi 40 gigi. Pasangan roda gigi memiliki efisiensi 96%. Cari torsi keluaran T2 pada poros roda gigi.

P = 7,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 36N2 = 40η = 96%
T2 = N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigiSulit
A = 30B = 50C = 15D = 36

Dalam rangkaian roda gigi majemuk, roda gigi A (30 gigi) pada poros masukan yang berputar pada 3000 rpm menggerakkan roda gigi B (50 gigi). Roda gigi C (15 gigi) terpasang pada poros yang sama dengan B dan menggerakkan roda gigi D (36 gigi) pada poros keluaran. Cari putaran keluaran nout.

nin = 3000 rpmA = 30B = 50C = 15D = 36
nout = rpm
3.Torsi porosSedang
d = 12 mmT = 20 N·m300 mmφ = 2,11°

Dalam uji torsi, spesimen pejal berdiameter 12 mm dipuntir oleh torsi 20 N·m. Kedua ujung panjang ukur 300 mm berputar 2,11° relatif satu sama lain (bahan masih elastis). Cari modulus geser G bahan.

T = 20 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 2,11°
G = GPa
4.Torsi porosSulit
Td = ?

Poros pejal harus meneruskan 15 kW pada 1000 rpm tanpa tegangan geser melebihi 75 MPa. Cari diameter terkecil d yang memenuhi.

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSedang
σx​ = 90σy​ = 100MPaτxy​ = ?

Suatu titik memiliki σₓ = 90 MPa dan σᵧ = 100 MPa. Seberapa besar tegangan geser τxy (besarnya) dapat meningkat sebelum tegangan utama terbesar mencapai 145 MPa?

σx = 90 MPaσy = 100 MPaσ1 = 145 MPa
τxy = MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi teganganSulit
σx​τxy​permukaan atas poros

Poros pejal berdiameter 30 mm menahan momen lentur sebesar 100 N·m bersama torsi 250 N·m. Di permukaan atas, tempat tegangan lentur bersifat tarik dan paling besar, cari tegangan geser sebidang maksimum τmax.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 250 N·m
τmax = MPa
7.Tegangan & regangan aksialSedang
Ø 30 mmBaja3 mP = 120 kN

Cari regangan aksial ε pada batang baja, dalam mikroregangan (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 30 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tegangan & regangan aksialSulit
100 kN12300 mm400 mmØ25Ø50σ2​ = ?

Sebuah segmen baja (diameter 25 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen dari aluminium (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 70 GPa) disambung ujung ke ujung dan dijepit di antara dua dinding kaku. Beban aksial 100 kN bekerja di sambungan, menuju segmen 2. Cari besar tegangan σ2 pada segmen 2.

segmen 1: baja, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
9.Tekuk kolomSedang
PL = 1,5 m25 × 40 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari aluminium dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Dengan rumus Euler, cari beban tekuk kritisnya Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.Tekuk kolomSulit
PL = 5 md = 60 mmpenampang

Kolom sepanjang L dari baja dengan tumpuan sendi di kedua ujung. Cari kelangsingannya dan tegangan tekuk kritis σcr dari rumus Euler.

L = 5 mE = 200 GPa (baja)d = 60 mm
σcr = MPa
11.Getaran mekanisSedang
k = 8 kN/mc = 70 N·s/mm = 25 kg

Massa 25 kg ditopang oleh pegas dengan kekakuan 8 kN/m dan peredam viskos dengan koefisien redaman 70 N·s/m. Cari rasio redaman ζ.

m = 25 kgk = 8 kN/mc = 70 N·s/m
ζ =
12.Getaran mekanisSulit
k1​ = 80k2​ = 60m = 10 kg

Massa 10 kg tergantung pada dua pegas berdampingan (paralel), dengan kekakuan k₁ = 80 kN/m dan k₂ = 60 kN/m. Massa tetap datar. Abaikan redaman dan massa pegas. Cari frekuensi alami fn getaran vertikal dalam Hz.

m = 10 kgk1 = 80 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz

3Larutan

1.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: T2 = 52,69 N·m

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Torsi motor

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Torsi keluaran

T2 = 49,39·40/36·0,96 = 52,69 N·m

Jawaban

T2 = 52,69 N·m
2.Roda gigi & rangkaian roda gigi

Jawaban: nout = 750 rpm

Rangkaian roda gigi: roda gigi yang berpasangan memiliki kecepatan yang sama di giginya, sehingga n₁·N₁ = n₂·N₂: roda gigi dengan jumlah gigi lebih sedikit berputar lebih cepat. Roda gigi pada satu poros berputar dengan kecepatan yang sama. Daya diteruskan (dikurangi rugi-rugi), sehingga torsi naik ketika putaran turun: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, dan P = T·ω dengan ω = 2π·n/60.

Tingkat pertama

nB = 3000·30/50 = 1800 rpm = nC

Tingkat kedua

nout = 1800·15/36 = 750 rpm

Jawaban

nout = 750 rpm

rasio total = 4 : 1

3.Torsi poros

Jawaban: G = 80,03 GPa

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Momen inersia polar dan sudut

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 2,11·π/180 = 0,03683 rad

Modulus geser

T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·300/(2036·0,03683) = 80033 MPa
G = 80,03 GPa

Jawaban

G = 80,03 GPa

Bandingkan: baja ≈ 80 GPa, kuningan ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Torsi poros

Jawaban: d = 21,35 mm

Torsi poros bulat: tegangan geser naik linear dari nol di pusat hingga τmax = T·r/J di permukaan, dengan J = πd⁴/32 untuk poros pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 untuk poros berongga. Sudut puntir φ = TL/(GJ) dalam radian. Daya dan torsi berhubungan melalui P = T·ω.

Torsi

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m

Diameter dari tegangan izin

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm

Jawaban

d = 21,35 mm

Dalam praktik Anda membulatkan ke ukuran standar berikutnya.

5.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τxy = 49,75 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Jari-jari yang diperlukan

C = (90 + 100)/2 = 95 MPa
R = σ1 − C = 145 − 95 = 50 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tegangan geser

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 5²) = 49,75 MPa

Jawaban

τxy = 49,75 MPa
6.Lingkaran Mohr & transformasi tegangan

Jawaban: τmax = 50,79 MPa

Transformasi tegangan bidang: pada bidang yang diputar sebesar θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Lingkaran Mohr menampilkan semua bidang sekaligus: pusatnya di C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jari-jarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegangan utama adalah C ± R, dan tegangan geser terbesar dalam bidang adalah R.

Tegangan di permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37,73 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa
στxyCτmax​

Lingkaran Mohr

C = σ/2 = 18,86 MPa
R = √(18,86² + 47,16²) = 50,79 MPa

Jawaban

τmax = 50,79 MPa
7.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: ε = 848,8 µε

Hukum Hooke: dalam daerah elastis σ = E·ε. Digabung dengan σ = P/A dan ε = δ/L menghasilkan δ = PL/(AE).

Tegangan

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 120·1000/706,9 = 169,8 MPa

Regangan (hukum Hooke)

E for baja = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 169,8/200000 = 0,0008488 = 848,8 µε

Jawaban

ε = 848,8 µε
8.Tegangan & regangan aksial

Jawaban: σ2 = 26,09 MPa

Dua bahan: pada susunan seri (satu demi satu) setiap segmen menahan gaya yang sama dan perpanjangannya dijumlahkan: δ = P·Σ L/(E·A). Pada susunan paralel (berdampingan di antara pelat kaku) kedua bagian memendek sama besar, sehingga regangannya sama: bagian yang lebih kaku menanggung bagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Batang yang ditahan di antara dua dinding kaku dengan beban di sambungan adalah statis tak tentu: kedua segmen membagi beban sebanding dengan kekakuannya k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm

Bagian segmen 2

F2 = 100000·343612/670861 = 51220 N

Tegangan

σ2 = 51220/1963 = 26,09 MPa (tekan)

Jawaban

σ2 = 26,09 MPa
9.Tekuk kolom

Jawaban: Pcr = 15,99 kN

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Persegi panjang menekuk terhadap sumbu lemahnya, dengan dimensi terkecil dipangkatkan tiga.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Panjang efektif

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritis

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1500² = 15992 N = 15,99 kN

Jawaban

Pcr = 15,99 kN
10.Tekuk kolom

Jawaban: σcr = 17,77 MPa

Tekuk Euler: kolom langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL panjang efektif: K = 1 untuk sendi–sendi, 2 untuk jepit–bebas, 0,7 untuk jepit–sendi, dan 0,5 untuk jepit–jepit. Kolom menekuk terhadap sumbu dengan I terkecil. Rumus berlaku untuk kolom langsing yang tegangan kritisnya tetap di bawah tegangan leleh.

Momen inersia terkecil

Penampang bulat memiliki I yang sama terhadap setiap sumbu.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Jari-jari girasi dan kelangsingan

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/15 = 333,3

Tegangan kritis

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Jawaban

σcr = 17,77 MPa
11.Getaran mekanis

Jawaban: ζ = 0,07826

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Redaman kritis

cc = 2·√(k·m) = 2·√(8000·25) = 894,4 N·s/m

Rasio redaman

ζ = c/cc = 70/894,4 = 0,07826

Jawaban

ζ = 0,07826

ζ < 1, sehingga sistem kurang teredam dan berosilasi sambil meluruh.

12.Getaran mekanis

Jawaban: fn = 18,83 Hz

Getaran bebas sistem massa–pegas: frekuensi alami tak teredam adalah ωn = √(k/m) dalam rad/s, dan fn = ωn/(2π) dalam Hz. Peredam viskos c memberikan rasio redaman ζ = c/cc, dengan redaman kritis cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Sistem kurang teredam (ζ < 1) berosilasi pada ωd = ωn·√(1 − ζ²). Pegas paralel dijumlahkan, k = k₁ + k₂; pegas seri dijumlahkan sebagai kebalikan, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kekakuan ekivalen

Pegas berdampingan berbagi defleksi dan gayanya dijumlahkan, sehingga kekakuannya cukup dijumlahkan: k = k1 + k2.

keq = 80 + 60 = 140 kN/m

Frekuensi alami

ωn = √(140000/10) = 118,3 rad/s
fn = 118,3/(2π) = 18,83 Hz

Jawaban

fn = 18,83 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design